重难点专题12 利用几何法求异面直线所成的角（四大题型）（解析版）.docx

重难点专题12利用几何法求异面直线所成的角

【题型归纳目录】

题型一：利用中位线平移

题型二：利用四边形平移

题型三：补体法

题型四：平移两次

【方法技巧与总结】

异面直线所成的角

①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．

②范围：

=3\*GB3③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．

【典型例题】

题型一：利用中位线平移

【例1】（2025·高二·山东济宁·期中）在四面体中，，，两两垂直且相等，是的中点，则异面直线和所成角为（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由于是的中点，取的中点，连接，

则，

则或补角即为异面直线与所成的角．

可设，

由于、、两两垂直，且均相等，

则，，，

即有，，，

则有．

故选：A．

【变式1-1】（2025·全国·模拟预测）如图,在圆锥中,,为圆上的点,且,,若为的中点,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】如图,取的中点,取的中点,连接

则,且,,则就是异面直线与所成的角或其补角．

易知平面,所以平面,所以.

因为,,所以,

所以由勾股定理得,

又,,

所以在△中,由余弦定理得,

故异面直线与所成角的余弦值为．

故选:A．

【变式1-2】（2025·高二·河北·学业考试）如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

设为的中点，连接，

由正方体的性质可得则四边形为平行四边形，

故，而为所在棱的中点，故，

故，故或其补角即为异面直线DE和所成的角，

设正方体的棱长为2，则，

故，故异面直线DE和所成的角的余弦值为，

故选：C.

【变式1-3】（2025·高一·四川成都·期末）在正四棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

取线段中点，因为点为中点，所以，

所以异面直线与所成角为，

不妨设正四棱锥的所有棱长均为2，

则，，

所以.

故选：D.

题型二：利用四边形平移

【例2】（2025·四川·模拟预测）在正四棱台中，，其体积为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设正四棱台的高为，

连接，作交于点，作交于点，连接，

则为异面直线与所成角或其补角.

因为，且正四棱台的体积为，

即，

所以，即，

则，，，

，，

所以.

故选：D.

【变式2-1】（2025·高一·陕西渭南·期末）如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（????）

A．120° B．90° C．60° D．30°

【答案】C

【解析】连接,因为且，所以四边形为平行四边形，

所以，即或其补角是异面直线与所成的角.

在正方体中，即是等边三角形，所以.

故选：C

【变式2-2】（2025·高一·云南曲靖·期末）如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（????）

??

A．1 B． C． D．

【答案】B

【解析】如图，取的中点，连接、，易知，

所以异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，即（或其补角），

由题意可知正三棱柱的所有棱长都相等，

可设三棱柱的棱长都为，则，，，

因为，所以为直角三角形，

所以

即异面直线与所成角的余弦值为.

故选：.

【变式2-3】（2025·高一·福建福州·期末）已知轴截面为正方形的圆柱，为下底面直径，是弧的中点，则与所成的角为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】连接，过点作交底面圆于点，连接，

因为是弧的中点，所以四边形为正方形，，

故或其补角为与所成的角，

设，则，

由勾股定理得，

，

又，故⊥，

又，故，

故，

与所成的角为.

故选：C

题型三：补体法

【例3】在正方体中，为的中点，平面与平面的交线为，则与AB所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】在正方体上面补上一个正方体，

易证为与AB所成的角．

设

【变式3-1】在三棱锥P-ABC中，，，，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】根据题给夆件，可以PA、AB、BC为棱将原图补成正方体，显然，正方体崍长为1，则体对角线，即为所隶异面直线的平面角，，故选．

【变式3-2】（2025·湖北·高一统考期末）如图，在三棱锥中，平面为的中点，则直线与所成角的余弦值为

（?????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为平面平面，平面

所以，，又，

所以