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重难点专题13轻松搞定线面角问题
【题型归纳目录】
题型一：定义法
题型二：等体积法
【方法技巧与总结】
线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
=3\*GB3③求法：
常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；
【典型例题】
题型一：定义法
【典例1-1】（2025·高二·河北沧州·期末）如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（????）
??
A． B． C． D．
【典例1-2】（2025·高一·重庆·阶段练习）如图所示，四棱锥中，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（????）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2025·高一·四川成都·期末）如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（????）
A．60° B．45° C．30° D．75°
【变式1-2】（2025·高一·天津南开·期末）已知正四面体的棱长为1，则直线与平面所成角的余弦值为．
【变式1-3】（2025·高一·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，平面平面，，且，则与平面所成角的大小是．
??
题型二：等体积法
【典例2-1】（2025·高一·广东茂名·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.
??
(1)证明：平面；
(2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【典例2-2】（2025·高二·云南·学业考试）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，.
??
(1)证明：；
(2)若，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值.
【变式2-1】（2025·高一·广东湛江·阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，．，M，N分别是线段，BD上的动点，且．
(1)若二面角的大小为，求DM的长；
(2)当三棱锥的体积为时，求CN与平面BCM所成角的正弦值的取值范围．
【变式2-2】（2025·高一·河南三门峡·阶段练习）如图，在三棱锥中，，底面ABC.
(1)求证：平面平面；
(2)若，，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值.
【变式2-3】（2025·高一·浙江宁波·期末）如图，已知在正三棱柱中，为棱的中点，.
(1)证明：面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【变式2-4】（2025·高一·贵州黔东南·期末）在三棱锥中，底面.
(1)证明：平面平面；
(2)若是的中点，求与平面所成角的正切值.
【过关测试】
1．（2025·高一·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在三棱锥中，平面，是的中点，则与平面所成角的正弦值为（????）
A． B． C． D．
2．（2025·高二·全国·课堂例题）如图，在三棱台中，平面平面ABC，，，.则DC与平面ABC所成线面角大小为.
3．（2025·高一·陕西渭南·阶段练习）在三棱锥P-OAB中，已知PO⊥平面OAB，OP=10，AB=20，PA与平面OAB所成的角为30°，PB与平面OAB所成的角为45°，则∠AOB=.（用角度表示）
4．（2025·高二·安徽·学业考试）如图，在直三棱柱中，．若，则与平面所成的角的大小为．
5．（2025·高一·宁夏银川·期末）在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正弦值为．
6．（2025·高一·全国·课后作业）在正方体中，E，F分别是，的中点，求：
(1)与平面所成角的余弦值；
(2)EF与平面所成的角.
7．（2025·高二·新疆·学业考试）如图，在正方体中．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成的角．
8．（2025·高一·全国·课堂例题）如图，在正方体中．
(1)求直线和平面所成的角；
(2)求直线和平面所成的角．
9．（2025·高一·全国·专题练习）在四棱锥中，底面，，，，．求与平面所成的角的正弦值．
10．（2025·高一·江苏苏州·期末）如图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面．
(1)证明：；
(2)若为的中点，求直线和平面所成角的正弦值．
11．（2025·高一·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，，分别是，的中点．
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(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
12．（2025·高一·云南红河·阶段练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，，，E为棱AD的中点，平面ABCD．
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