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专题7.2复数的运算
TOC\o1-3\h\z\t正文,1【基础知识】 1
【考点1:复数的加减运算】 1
【考点2:复数的乘除运算】 3
【考点3:特殊复数的运算】 3
【考点4:复数集内解方程或因式分解】 5
【基础知识】
【知识点:复数的运算法则】
1、设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则:
(1)z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
(2)z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
(3)z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
(4)eq\f(z1,z2)=eq\f(a+bi,c+di)=eq\f(?a+bi??c-di?,?c+di??c-di?)=eq\f(ac+bd,c2+d2)+eq\f(bc-ad,c2+d2)i(c+di≠0).
2、复数的乘法
(1)复数的乘法类似于两个多项式相乘,即把虚数单位i看作字母,然后按多项式的乘法法则进行运算,最后只要在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部和虚部分别结合即可,但要注意把i的幂写成简单的形式;
(2)实数范围内的运算法则在复数范围内仍然适用,如交换律、结合律以及乘法对加法的分配律、正整数指数幂的运算律,这些对复数仍然成立.
3、复数的除法运算
关键是分母“实数化”,其一般步骤如下:
(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数;
(2)对分子、分母分别进行乘法运算;
(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式.
[易错提醒]
在乘法运算中要注意i的幂的性质:
(1)区分(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R)与(a+b)2=a2+2ab+b2(a,b∈R);
(2)区分(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R)与(a+b)(a-b)=a2-b2(a,b∈R).
【考点1:复数的加减运算】
【知识点:复数的加减运算】
1.(2025高一下·全国·课后作业)复数在复平面内对应的点在(???)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.(2025高三下·河南新乡·阶段练习)复数满足,则的虚部为(????)
A. B. C. D.
3.(2025高三上·贵州贵阳·阶段练习)已知复数为纯虚数,且满足,则(????)
A. B. C. D.
4.(2025·山东菏泽·一模)在复平面内,向量对应的复数为,向量对应的复数为,则向量对应的复数为(???)
A. B. C. D.
5.(24-25高一下·河南南阳·期末)已知复数,满足,且,则(????)
A. B. C.5 D.
6.(多选)(2025高一下·全国·课后作业)(多选)在复平面内有一个平行四边形,点为坐标原点,点对应的复数为,点对应的复数为,点对应的复数为,则下列结论正确的是(???)
A. B.点位于第二象限
C. D.
7.(2025高一下·全国·课后作业)若,且为纯虚数,则复数.
8.(2025高一·上海·课堂例题)已知复数,,其中.若,求的值.
【考点2:复数的乘除运算】
【知识点:复数的乘除运算】
1.(2025·山东青岛·一模)若,则(????)
A.3 B.4 C.5 D.6
2.(2025·贵州毕节·二模)已知,则(????)
A. B. C.1 D.3
3.(2025·四川成都·二模)若,则(????)
A. B.
C. D.
4.(2025·黑龙江·一模)已知复数满足:,则(???)
A. B. C. D.
5.(2025高三下·广东广州·阶段练习)已知复数,,则在复平面内对应的点位于(????)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.(多选)(24-25高一下·安徽黄山·期中)已知复数(是虚数单位),则下列结论正确的是(???)
A.复数的虚部等于 B.
C. D.若是实数,是纯虚数,则
7.(2025·天津武清·一模)i是虚数单位,则.
8.(2025高三·全国·专题练习)设复数的共轭复数是,若复数,,且是实数,则实数等于.
【考点3:特殊复数的运算】
【知识点:特殊复数的运算】
1.(2025高三下·江苏·开学考试)(????)
A. B. C. D.
2.(2025高三下·四川雅安·开学考试)若,,则的取值可以是(???)
A.4 B.3 C.2 D.1
3.(2025·重庆·模拟预测)已知复数,则(????)
A. B. C. D.1
4.(24-25高二上·广西钦州·期末)设,则z在复平面内所对应的点位于(????)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.(2025·江西景德镇·二模)已知
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