河北省张家口市2025届高三下学期高考模拟（一）数学试题.docx

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2025年普通高等学校招生全国统一模拟考试（一）数学

2025.3

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改剪，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则（）

A. B. C. D.

2.数据2，3，8，5，4，2的中位数和平均数分别为（）

A.3.5和2 B.3和4 C.4和2 D.3.5和4

3.若复数满足（i虚数单位），则（）

A. B. C. D.

4.从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，则第二个数是7的概率为（）

A. B. C. D.

5.设为钝角，若直线与曲线只有一个公共点，则的离心率为（）

A B. C. D.

6.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向为，，则（）

A. B. C. D.

7.已知定义在实数集上函数满足以下条件：①；②；③.则（）

A. B.0 C.1 D.2

8.在平面直角坐标系中，，，，点分别是的外心和垂心，若，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.函数的零点个数可以为（）

A.0 B.1 C.2 D.4

10.已知球O的表面积为，点P，A，B，C均在球面上，且，，，则（）

A.球O的半径为2

B.平面截球面所得小圆的面积为

C.点到平面的距离为

D.球体挖去四面体后余下部分的体积为

11.如图，在平面直角坐标系中，曲线为伯努利双纽线，其中，为焦点，点为上任意一点，且满足，曲线的方程为.则下列说法正确的有（）

A.曲线为中心对称图形和轴对称图形

B.若直线与曲线恰有3个交点，则

C.曲线在直线与所围成的矩形区域内

D.当参数变化时，曲线上的最高点均在曲线上

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知数列满足，且，则__________.

13.已知函数，，则的取值范围是__________.

14.我国历史文化悠久，中国象棋就是国人喜闻乐见的一种娱乐方式.不同棋子行的规则各不相同：马走日字象走田，车走直路炮翻山，即“马”只能由“日”字格子的顶点沿“日”字的斜线走到相对的另一个顶点，，…，，如图1.请据此完成填空：如图2，假设一匹马从给定的初始位置出发，且规定其只能向“右前方走”，则其运动到点所需的步数为__________；该马运动到点所有可能落点（不包括点）的个数为__________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.如图，已知三棱锥中，，，平面平面ABC，，，.

（1）求点到平面距离；

（2）若为AC的中点，求PQ与平面所成角的正弦值.

16.已知，.

（1）若，求曲线在处的切线方程；

（2）若，使，求的取值范围.

17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.

（1）若，求；

（2）当BC边上的中线最小时，求的面积.

18.已知，分别为椭圆（）的左，右焦点，为短轴的一个端点，是直角三角形.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若直线恰好与椭圆相切，求椭圆的方程；

（3）在（2）条件下，设直线不过点且与交于两点，，若，求的最大值.

19.某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能Y，S，W来提升综合能力.初始时，机器人选择学习技能Y，且每次学习Y后会等可能地选择学习S或W；每次学习S后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习W；每次学习W后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习S.设，，分别表示第n次学习后接着学习技能Y，S，W的概率.

（1）若机器人仅进行三次学习，求学习技能Y次数的分布列及其数学期望；

（2）求及其最大值；

（3）已知，，

若数列的前项和为，证明：.