专题7.4 二项式定理（十个重难点突破）（原卷版）_1.docx

专题7.4二项式定理

一、二项展开式的应用

六、（奇偶项）系数之和问题

二、求特定项（系数）

七、（二项式）系数的最值问题

三、求展开式的有理项

八、整除与余数问题

四、二项式乘积问题

九、近似计算问题

五、三项式问题

十、杨辉三角

知识点1二项式定理

.这个公式叫做二项式定理,

右边的多项式叫做的二项展开式,其中各项的系数叫做二项式系数,式中的叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.

知识点2二项展开式形式上的特点

（1）项数为；（2）各项的次数和都等于二项式的幂指数,即与的指数的和为.

（3）字母按降幂排列,从第一项开始,次数由逐项减小1直到零;字母按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增加1直到.

知识点3二项式系数的性质

（1）每一行的两端都是1,其余每个数都等于它“肩上”两个数的和,这实际上反映了组合数的下列性质:.

（2）对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即

（3）二项式系数先增后减中间项最大

当为偶数时,第项的二项式系数最大,最大值为,当为奇数时,第项和项的二项式系数最大,最大值为或.

（4）各二项式系数的和：

重难点一、二项展开式的应用

【例1】若（，为有理数），求的值.

【例2】若对恒成立，其中，则（????）

A． B．0 C．1 D．2

【变式1-1】求的展开式．

【变式1-2】的值是（????）

A． B．1 C．0 D．22024

【变式1-3】已知，若，则．

（1）正用:将二项式展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,先化简再用二项式定理展开.

（2）逆用:将展开式合并成二项式的形式,即二项式定理从右到左使用是合并,对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律.

重难点二、求特定项（系数）

【例3】的展开式中的中间项为（???）

A． B． C． D．

【例4】若二项式展开式中的常数项为160，则．

【变式2-1】二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为.

【变式2-2】已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（????）

A．60 B． C．448 D．

【变式2-3】已知，则．（用数字作答）

①明确所求项的指数条件，解方程确定值；②注意区分二项式系数与项的系数，尤其含负号或分数时需谨慎计算

重难点三、求展开式的有理项

【例5】（多选）的展开式中的有理项有（????）

A． B． C． D．

【例6】二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为（???）

A．种 B．种 C．种 D．种

【变式3-1】已知二项式．

(1)写出当时的展开式；

(2)写出当时所有的有理项．

【变式3-2】展开式中有理项的个数为.

【变式3-3】已知展开式中的有理项不少于3项，则的最小值为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

对于有理项,一般是先写出通项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.

重难点四、二项式乘积问题

【例7】的展开式中常数项为（????）

A． B． C．5 D．10

【例8】已知的展开式中，常数项为，则（????）

A． B．2 C． D．1

【变式4-1】的展开式中的系数为（????）

A． B． C．100 D．120

【变式4-2】的展开式中，项的系数为.

【变式4-3】的展开式中的项的系数为30，则（????）

A． B． C．1 D．2

①分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点;②找到构成展开式中特定项的组成部分;③分别求解再相乘,求和即得.

重难点五、三项式问题

【例9】的展开式中，常数项为.

【例10】的展开式中的系数是.（用数字填写）

【变式5-1】的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（???）

A． B． C． D．

【变式5-2】的展开式中含的项的系数为（）

A． B． C．20 D．60

【变式5-3】已知展开式中的系数为，函数的图象过点，则（???）.

A．2 B． C． D．1

应根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性.

重难点六、（奇偶项）系数之和问题

【例11】若，，则（????）

A． B．31 C． D．32

【例12】若，求：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【变式6-1】若，则．（写成指数幂形式即可）

【变式6-2】设，则