山东省青岛市2025届高三年级第一次适应性检测数学试卷及答案.docx

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2025年高三年级第一次适应性检测

数学试题

2025.03

本试卷共4页，19题全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.抛物线的焦点坐标为

A. B. C. D.

【答案】B

解：由抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于轴正半轴，由，可得：，即焦点坐标为.

本题选择B选项.

2.若，则（）

A.3 B.4 C.5 D.6

【答案】C

【分析】根据复数除法、乘法、共轭复数等知识求得正确答案.

，

所以，所以.

故选：C

3.若样本数据1，，，…，的平均数为1，方差为2，则数据，，…，相对于原数据（）

A.平均数变小 B.平均数变大 C.方差变小 D.方差变大

【答案】D

【分析】根据平均数公式和方差公式计算即可.

设原数据的平均数为，方差为，变化后的数据的平均数为，方差为，

根据题意有：，

所以，

故选：D.

4.近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为（）（，精确到年）

A.年 B.年 C.年 D.年

【答案】D

分析】令，解此方程即可.

令可得，可得，所以，，

故臭氧消失一半所需要的时间约为年.

故选：D.

5.已知，，则在上的投影向量为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【分析】利用投影向量公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果.

在上的投影向量为

.

故选：A.

6.设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得，”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据集合的包含关系及交集的定义，结合充分条件和必要条件的定义求解即可.

由，得，

而，则，

故“存在集合C使得，”是“”的充分条件；

由，存在一个集合，使得，，如图，

所以“存在集合C使得，”是“”的必要条件.

故选：C.

7.在平面直角坐标系中，动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动.、分别以、为起点同时开始运动，经过后，动点、的坐标分别为、，则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【分析】由三角函数的定义可得，，利用二倍角的余弦公式结合二次函数的基本性质可求得的最小值.

由三角函数的定义可知，，，

则，

因为，其中，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为.

故选：C.

8.设是关于的方程的正实数根.记，其中表示不超过的最大整数，设数列的前项和为，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【分析】令，分析该函数的单调性，结合零点存在定理得出，可得出，对为奇数和偶数进行分类讨论，讨论的取值，结合并项求和法以及等差数列的求和公式可求得的值.

令，则函数在上为增函数，

因为，

，

由零点存在定理可得，则，

当为正奇数时，设，则，则，

当为正偶数时，设，则，则，

所以，

.

故选：B.

关键点睛：解本题的关键在于利用零点存在定理得出的取值范围，并由此讨论的取值，结合数列求和求解.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在正三棱柱中，为AC的中点，点满足，，则（）

A.当时， B.当时，

C.存在，使得 D.存在，使得平面

【答案】AD

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直及平行计算判断A，B，C，求出法向量法结合位置关系求解判断D.

取的中点，建立如图所示空间直角坐标系：

??

设底面边长为2，

则，

所以，所以，

A.当时，，，，所以，故A正确；

B.当时，，，，所以不成立，故B错误；

C.，，故C错误；

D.因为，，

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则，

使得平面，所以，所以，，符合，故D正确；

故选：AD.

10.已知狄利克雷函数设函数，则（）

A.是奇函数 B.是周期