辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题.docx

大连育明高级中学2024~2025学年（上）期末考试

高二数学试卷

命题人：廖尔华校对人：张宇浓

满分150分时间120分钟

祝考试顺利

注意事项：

1.答卷前：先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码粘贴在答题卡上指定位置.

2.选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

3.非选择题，用0.5mm黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区域无效.

4.画图清晰，并用2B铅笔加深.

第I卷（共58分）

一.选择题（每小题5分，共40分）

1.设，向量，，，且，，则等于（）

A. B. C.3 D.9

2.如图，空间四边形中，，，，点M，N分别在，上，且满足，，，则（）

A. B.

C. D.

3.双曲线上的点到点的距离为，则点到点的距离为（）

A B.

C.或 D.或

4.有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）

A.1440种 B.1560种 C.1920种 D.5760种

5.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中，平面BCD，且，点E，F分别为线段与线段的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）

A B. C. D.

6.已知点O是坐标原点，点是圆上的动点，点在直线上，则当取到最小值时，为（）

A.7 B.6 C.5 D.4

7.如图，已知正方体的棱长为4，，分别是棱，的点，且满足：，，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为（）

A. B. C. D.

8.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，是椭圆上第一象限的一点，的重心和内心分别为M，N，且轴.又点是该椭圆上任一点，则的最大值为（）

A.2 B. C. D.1

二.多项选择题（每小题6分，共18分）

9.已知，则（）

A.的值为2

B.的值为80

C.的值为

D

10.已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），分别以A，B两点为切点的两条切线交点为，若，则以下结论正确的是（）

A. B.

C. D.的面积为

11.如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，则（）

A.当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值

B.若，分别是线段和上的动点（都不与端点重合），，，点在平面上，，且，则为定值

C.若是线段的中点，则沿正方体的表面从点到点的最短距离为

D.使线段长度为的点的轨迹长度为

第II卷（共92分）

三.填空题（每小题5分，共15分）

12.下列说法：

①过点且在，轴上的截距互为相反数的直线方程为；

②已知双曲线的渐近线方程为，则它的离心率；

③若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为；

④一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为.

其中正确的序号是_____.

13.如图所示，已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，则的离心率为__________.

14.祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）.现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为，内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为_____.

四.解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.已知直线，直线，抛物线上有不与坐标原点重合的任意不同两点M，N，且.（其中O为坐标原点）

（1）若，求实数的值；

（2）证明：直线MN过定点；

（3）直线过定点为，求三角形GMN面积的最小值.

16.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点，是的中点，且平面，.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积；

（3）求平面QEC与平面所成角的余弦值.

17.已知双曲线E：的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为.

（1）求双曲线E的方程；

（2）若平面有一定点，

①双曲线E上是否存在两点M，N，使？若存在，求直线斜率；若不存在，说明理由；

②过点P的直线交双曲线E于A，B两点，设A，B的中点为Q，过点Q分别作双曲线E渐近线的平行线，交双曲线E于C，D两点，证明：.

18.如图，在三棱柱中，，，，分别是线段和上的点，且，，，二