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经济学高数试题及答案

题目：假设某经济模型中，消费者的效用函数为\(U(x,y)=x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}\)，其中\(x\)和\(y\)分别代表两种商品的数量。假设消费者的收入\(I\)为100，商品\(x\)和\(y\)的价格分别为\(p_x\)和\(p_y\)。请回答以下问题，并给出详细的解答过程。

试题一：求消费者均衡时的商品\(x\)和\(y\)的消费数量。

解答过程：

1.写出消费者的预算约束线：

\[p_x\cdotx+p_y\cdoty=I\]

代入\(I=100\)，得到：

\[p_x\cdotx+p_y\cdoty=100\]

2.求消费者效用最大化问题的一阶条件：

设拉格朗日函数为：

\[L=x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}+\lambda(100p_x\cdotxp_y\cdoty)\]

对\(x\)、\(y\)和\(\lambda\)分别求偏导数，并令其等于0，得到以下方程组：

\[\frac{\partialL}{\partialx}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}\lambdap_x=0\]

\[\frac{\partialL}{\partialy}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}\lambdap_y=0\]

\[\frac{\partialL}{\partial\lambda}=100p_x\cdotxp_y\cdoty=0\]

3.解方程组：

将前两个方程相除，消去\(\lambda\)，得到：

\[\frac{x}{y}=\frac{p_y}{p_x}\]

即：

\[x=\frac{p_y}{p_x}\cdoty\]

将\(x\)代入第三个方程，得到：

\[100p_x\cdot\frac{p_y}{p_x}\cdotyp_y\cdoty=0\]

\[100=y(p_x+p_y)\]

\[y=\frac{100}{p_x+p_y}\]

将\(y\)代入\(x=\frac{p_y}{p_x}\cdoty\)，得到：

\[x=\frac{p_y}{p_x}\cdot\frac{100}{p_x+p_y}=\frac{100p_y}{(p_x+p_y)p_x}\]

所以，消费者均衡时的商品\(x\)和\(y\)的消费数量分别为：

\[x=\frac{100p_y}{(p_x+p_y)p_x}\]

\[y=\frac{100}{p_x+p_y}\]

试题二：求消费者均衡时的边际替代率。

解答过程：

边际替代率（MRS）定义为消费者在保持效用不变的情况下，愿意放弃一种商品的数量来换取另一种商品的数量。计算公式为：

\[MRS_{xy}=\frac{\frac{\partialU}{\partialx}}{\frac{\partialU}{\partialy}}\]

对效用函数\(U(x,y)\)分别求\(x\)和\(y\)的偏导数，得到：

\[\frac{\partialU}{\partialx}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}\]

\[\frac{\partialU}{\partialy}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}\]

代入边际替代率公式，得到：

\[MRS_{xy}=\frac{\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}}=\frac{y}{x}\]

将消费者均衡时的\(x\)和\(y\)的表达式代入，得到：

\[MRS_{xy}=\frac{\frac{100}{p_x+p_y}}{\frac{100p_y}{(p_x+p_y)p_x}}=\frac{p_x}{p_y}\]

所以，消费者均衡时的边际替代率为：

\[MRS_{xy}=\frac{p_x}