解三角形题型分类答案_1.docx

中线角平分线高

1.（2024届四川省南充高中高三上学期第一次月考）已知中，角的对边分别为，．

(1)若，求的值；

(2)若的平分线交于点D，且，，求的面积．

【解析】（1）由以及正弦定理得

，

所以.

（2）依题意，，

由正弦定理得，

由于，所以，

所以，，

由，，

，

由余弦定理得，

即，，，

则由得，

所以.

??

2.（2024届广东省揭阳市普宁市高三上学期第一次月考）在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

(1)求角A；

(2)若，AD为BC边上的中线，求.

【解析】（1）由正弦定理得，

因为，所以，

所以，

即，

又，所以，

即，又，

所以，所以.

（2）因为，所以由正弦定理得，

设，则，

因为AD为BC边上的中线，所以，

??

即，

即，，

即，显然，所以，

即.

3．已知函数，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求角A；

(2)若b=3，c=2，点D为BC边上靠近点C的三等分点，求AD的长度．

【答案】(1).(2).

【详解】（1）因为，所以，所以．所以，即．又，所以．

（2）如图所示，

方法一：在△ABC中，由余弦定理可得，

则．又点D为BC边上靠近点C的三等分点，所以．

又在△ABC中，，在中，由余弦定理可得，所以．

方法二：因为点D为BC边上靠近点C的三等分点，所以．

等式两边同时平方可得．

所以，即．

4.（2024届广西南宁市第二中学、柳州铁一中学高三新高考摸底调研）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

(1)求角A的大小；

(2)设是边上的高，且，，求的值．

【解析】（1）解：在中，

由正弦定理，可得，

即，即，

整理得，

因为，所以，则，

又因为，所以．

（2）解：由（1）及已知，可得，

又由，可得，所以，

由余弦定理，可得，

即，即，所以.

二．周长面积取值范围

1．在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．

(1)求角B的值；

(2)若，求的周长的取值范围．

【答案】(1)；(2)

【详解】（1），由正弦定理得：，即，

由余弦定理得：，因为，所以；

（2）锐角中，，，由正弦定理得：，

故，

则，

因为锐角中，，则，，解得：，

故，，则，

故，，所以三角形周长的取值范围是.

2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求A的大小；

(2)若，求面积的最大值.

【答案】(1)；(2)

【详解】（1）因为，由正弦定理角化边得，即

，又，

（2）由（1）知，，得，当且仅当时等号成立，

面积，面积的最大值为.

3．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且.

(1)求角A；

(2)若为锐角三角形，边，求面积的取值范围.

【答案】(1)；(2)

【详解】（1）法一：因为.由正弦定理得，

又，所以.

所以.因为，所以，所以.因为，所以，.

法二：因为，由余弦定理得，整理得，

所以.又，所以.

（2）由（1）得，根据题意得解得.在中，由正弦定理得，

所以.因为，所以，

所以，所以.

所以

所以的取值范围是.

解三角形取值范围问题

1．(1)或

(2)

【分析】（1）由正弦定理化简可得，由可得，结合余弦定理得，换元求出其值，由正弦定理即可得答案;

（2）由得，结合余弦定理得，变形为，换元，可得，结合三角函数的性质可得不等式，即可求得答案.

（1）

因为，由正弦定理得：，

即,即，

因为，所以，即，

由得：;

由得：，即，即，

由余弦定理可得：，

故，则，

令，则，解得，

由正弦定理得：，故的值为或；

（2）

由得：，即，

由余弦定理可得：，

即，

故，

令，则，即,

由得，故，

故，即得，

故的取值范围是.

2．(1)sinC+sinA=1

(2)

【分析】（1）代入，解得，对变形得到，求出答案；（2）对题干条件两边同乘以，变形得到，利用正弦定理得到，利用余弦定理和基本不等式求出的最大值.

(1)

由题意得：，

即，

则

(2)

，两边同乘以得：

，即，整理得：，

由正弦定理得：，

由余弦定理得：，

因为，当且仅当时等号成立，

此时，由于，而在上单调递减，

故的最大值为

3．（Ⅰ）；（Ⅱ）的最大值为．

【详解】试题分析：（Ⅰ）首先应用正弦定理及可得到，然后结合三角形的内角和为将角用角表示出来代入上述等式并整理即可得出结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，然后运用两角的正切和公式求出并将其整理为，再运用基本不等式，即可求出的最大值．

试题解析：（Ⅰ），

，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即

为锐角三角形，均为正数，，当且仅当时等号成立．，当且仅当时等号成立．

，即的最大值为．

4．的三个内角，，的对边分别是，，，已知．

（1）求；

（2）若，求的取值范围．

解：（1）因为，

由正弦定理，

因为，

所以，

所以，

即，

由为三角形内角得，

故，

所以