微专题04 平面向量基本定理及坐标表示16种常考题型总结（解析版）_1.docx

微专题04平面向量基本定理及坐标表示16种常考题型总结

题型1基底的概念及辨析

题型2用基底表示向量

题型3利用平面基本定理求参数

题型4平面向量基本定理的综合应用

题型5平面向量正交分解的理解

题型6平面向量的坐标表示

题型7平面向量加、减运算的坐标表示

题型8平面向量数乘运算的坐标表示

题型9向量共线的判定

题型10利用向量共线的坐标表示求参数

题型11向量数量积的坐标表示

题型12利用坐标解决平面向量的模长问题

题型13利用坐标解决向量垂直问题

题型14利用坐标解决向量夹角问题

题型15向量夹角为锐角或钝角问题

题型16利用坐标法解决投影向量问题

1、平面向量基本定理

如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．

①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；

②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的．

这说明如果且，那么．

③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．

注：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量．

2、如何使用平面向量基本定理

平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．

（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．

（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算．

3、两个向量是否能构成基底

考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.

4、平面向量基本定理的作用以及注意点

(1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算.

(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量.

5、应用平面向量基本定理一般思路：

（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．

（2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．

6、向量的分解

一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解．

7、向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．这两个互相垂直的向量称为正交基底．

8、向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．

注：关于平面向量的坐标表示

(1)相等的向量坐标相同；

(2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关．

在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．

(3)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．

9、向量与坐标的关系

设eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj，则向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标．

因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．

注：点的坐标与向量的坐标

(1)区别：

(ⅰ)表达形式：向量a＝(x，y)，点A(x，y)；

(ⅱ)意义不同：点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向．

(2)联系：当平面向量的起