福建省莆田市2025届高三第二次教学质量检测数学试卷.docx

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莆田市2025届高中毕业班第二次教学质量检测试卷

数学

本试卷共5页，19小题，满分150分．考试时间120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设，则（）

A.1 B.2 C. D.

2.已知，则（）

A. B. C. D.

3.已知向量，则在方向上的投影向量为（）

A. B. C. D.

4.设等比数列公比为，则“”是“为递增数列”的（）

A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件

5.曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（）

A. B. C. D.

6.已知函数是图象的一条对称轴，且在上单调，则为（）

A.2 B.5 C.8 D.11

7.为了解女儿身高与其母亲身高的关系，随机抽取5对母女的身高数据如下：

母亲身高

164

166

166

166

168

女儿身高

165

165

166

167

167

根据最小二乘法（即取最小），关于的回归直线方程为（）

A. B. C. D.

8.设正方形的四条边分别经过点，则该正方形与圆的公共点至多有（）

A.0个 B.4个 C.8个 D.16个

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知双曲线的左右焦点分别是，过的直线交于两点，列结论正确的是（）

A. B.渐近线方程为

C.的最小值为4 D.内切圆圆心在直线上

10.在三棱锥中，平面分别为中点，下列结论正确是（）

A.为直角三角形 B.平面

C.三棱锥的体积最大值为 D.三棱锥外接球的半径为定值

11.已知函数，下列结论正确是（）

A.当时，是的极大值点

B.存在实数，使得成立

C.若在区间上单调递减，则的取值范围是

D.若存在唯一的零点，且，则的取值范围是

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.展开式中的常数项为_________．

13.如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面3m，水面宽6m．水面上升1m后，水面宽度是______m．

14.在中，，的面积为3，则的最小值为______．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15.记为等差数列的前项和．已知．

（1）求通项公式；

（2）记集合，将中的元素从小到大依次排列，得到新数列，求的前20项和．

16.如图，在直三棱柱中，平面平面为的中点．

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

17.在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．

（1）已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.9；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7．

（ⅰ）求测试结果为语音识别成功的概率；

（ⅱ）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率；

（2）已知当前每次测试成功的概率为0.8，每次测试成本固定，现有两种测试方案：

方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试，为降低测试成本，以测试次数期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？

18.已知椭圆的离心率为，点在上．

（1）求的方程；

（2）设椭圆．若过直线交于另一点交于两点，且在轴上方．

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）为坐标原点．为右顶点．设在第一象限内，，是否存在实数使得的面积与的面积相等？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

19.若函数在区间上有意义，且存在正实数，使得，均有，则称在上具有性质．设．

（1）求的单调区间：

（2）判断在上是否具有性质，并说明理由；

（3）当时，在上具有性质，证明：．