重难点专题12 利用几何法求异面直线所成的角（四大题型）（原卷版）.docx

重难点专题12利用几何法求异面直线所成的角

【题型归纳目录】

题型一：利用中位线平移

题型二：利用四边形平移

题型三：补体法

题型四：平移两次

【方法技巧与总结】

异面直线所成的角

①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．

②范围：

=3\*GB3③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．

【典型例题】

题型一：利用中位线平移

【例1】（2025·高二·山东济宁·期中）在四面体中，，，两两垂直且相等，是的中点，则异面直线和所成角为（???）

A． B． C． D．

【变式1-1】（2025·全国·模拟预测）如图,在圆锥中,,为圆上的点,且,,若为的中点,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B．

C． D．

【变式1-2】（2025·高二·河北·学业考试）如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（????）

A． B． C． D．

【变式1-3】（2025·高一·四川成都·期末）在正四棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

题型二：利用四边形平移

【例2】（2025·四川·模拟预测）在正四棱台中，，其体积为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（???）

A． B． C． D．

【变式2-1】（2025·高一·陕西渭南·期末）如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（????）

A．120° B．90° C．60° D．30°

【变式2-2】（2025·高一·云南曲靖·期末）如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（????）

??

A．1 B． C． D．

【变式2-3】（2025·高一·福建福州·期末）已知轴截面为正方形的圆柱，为下底面直径，是弧的中点，则与所成的角为（????）

A． B． C． D．

题型三：补体法

【例3】在正方体中，为的中点，平面与平面的交线为，则与AB所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

【变式3-1】在三棱锥P-ABC中，，，，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

【变式3-2】（2025·湖北·高一统考期末）如图，在三棱锥中，平面为的中点，则直线与所成角的余弦值为

（?????）

A． B． C． D．

【变式3-3】（2025·高三·安徽·阶段练习）在长方体（平面为下底面）中，，，点为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为.

题型四：平移两次

【例4】（2025·高一·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点．若，，则与所成的角为（????）

??

A． B． C． D．

【变式4-1】（2025·高一·安徽黄山·期末）中，，.为中点，为线段上靠近点的四等分点，将沿翻折，使到的位置，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

【变式4-2】（2025·高一·河南新乡·期末）在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为．

【变式4-3】（2025·高一·福建三明·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是线段上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

【过关测试】

1．（2025·高一·重庆·期末）如图，在正三棱柱中，若，，则与所成角的大小为（????）

A． B． C． D．

2．（2025·高一·全国·课后作业）已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，则直线与直线BD所成的角的大小为（????）

A． B． C． D．

3．（2025·高一·河北唐山·期末）在正四面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

4．（2025·高一·内蒙古呼和浩特·期末）已知三棱锥的所有顶点都在表面积为的球的球面上，平面，，则与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

5．（2025·高一·安徽亳州·期末）已知正四棱锥的底面边长为2，体积为，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

6．（2025·高一·广西河池·期末）如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（????）

??

A． B． C． D．

7．（2025·高一·陕西商洛·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

8．（2025·高一·江苏无锡·期中