重难点专题15 空间中的五种距离问题（五大题型）（解析版）.docx

重难点专题15空间中的五种距离问题

【题型归纳目录】

题型一：点线距

题型二：异面直线的距离

题型三：点面距

题型四：线面距

题型五：面面距

【方法技巧与总结】

空间中的距离

求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．

【典型例题】

题型一：点线距

【例1】已知正方体的棱长为1，则点B到直线的距离为_________．

【答案】

【解析】如图，连接，过B作，则即为点B到直线的距离，

在正方体中，平面，，在直角中，，且，所以，点B到直线的距离为.

故答案为：.

【变式1-1】（2025·高二·山东济南·期末）如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P为直线DE上的动点，则P到直线AB距离的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】把平面展开图还原为空间八面体，如图所示：

由题意，P到直线AB距离的最小值即直线到直线的距离，

又//，平面，平面，故//平面.

又，故四边形为菱形，则//.

平面，平面，故//平面.

又，平面，故平面//平面.

故直线到直线的距离为平面到平面的距离.

则到平面的距离即为P到直线AB距离的最小值.

设与交于，则易得为正四棱锥中心.

则，，故为直角三角形，故.

设到平面的距离为，则由，故，

故，解得.

故选：B

【变式1-2】（2025·高二·重庆·期中）如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

如图所示，取的中点F，连接，，

∵，底面，

∴四边形是矩形，

∴，

又平面，平面，

∴平面，

∴直线上任一点到平面的距离是两条异面直线与的距离，

过点作，

∵平面平面，平面平面，

平面，

∴平面，

过点M作交于点P，则，

取，连接，则四边形是矩形．

可得平面，

在中，，

得，

∴点P到直线的距离的最小值为．

故选：B．

题型二：异面直线的距离

【例2】（2025·高一·江苏镇江·期末）棱长为的正四面体的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为；直线与之间的距离为.

【答案】；.

【解析】如图，将正四面体补形为正方体，

则正四面体的外接球就是正方体的外接球，

由已知，所以正方体的边长为，

所以正方体的对角线长为，正方体的外接球的半径为，

所以球的表面积，

取的中点，的中点，

因为，，

所以，，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以直线与之间的距离为线段的长，

又中，，，

所以，

所以直线与之间的距离为，

故答案为：，.

【变式2-1】（2025·高一·全国·课后作业）边长为1的正方体中，直线和之间的距离为.

【答案】1

【解析】如图所示，连接，

因为平面，平面，所以，

又，

则直线和之间的距离为，又，

即直线和之间的距离为1.

故答案为：.

【变式2-2】（2025·高一·全国·课后作业）四面体中，，，，则异面直线与的距离为．

【答案】

【解析】将四面体补成长方体，连接交于点，连接交于点，连接，

则、分别为、的中点，

由已知可得，可得，

因为且，故四边形为平行四边形，则且，

又因为、分别为、的中点，所以，且，

故四边形为平行四边形，故且，

平面，平面，，即，

同理可得，故异面直线与的距离为.

故答案为：.

【变式2-3】（2025·高一·全国·课后作业）正方体中，边长为4，则异面直线与的距离为．

【答案】/

【解析】如图，正方体中，，，是平行四边形，

∴，同理，

分别是上下底面对角线的交点，，分别与交于点，连接相应的线段，

平面，平面，∴平面，同理平面，

又，平面，∴平面平面，

由于与平行且相等，因此是平行四边形，∴，而分别是中点，

因此，

正方体棱长为4，则对角线，，

平面，是在平面内的射影，，平面，

∴，同理，，平面，所以平面，∴平面，

∴平面与平面的距离为，

而平面，平面，且与是异面直线，

所以异面直线与的距离等于平面与平面的距离为，

故答案为：．

题型三：点面距

【例3】（2025·高一·广西玉林·期中）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点．

(1)求证：平面；

(2)求点到平面的距离．

【解析】（1）由O是的交点，又为正方形，则O为的中点，又D是中点，

在中，又面面，故平面.

（2）三棱柱中，，且，

易知是等腰直角三角形，点D是棱的中点，

所以，

四边形为正方形，，则，

又，而，且，则，

由在面内，则面，面，

所以，而，在面内，

则面，面，故，所以，

由，则，又，

若到平面的距离为d，则，可得.

【变式3-1】（2025·高一·江苏常州·期末）如图，在三棱锥中，，，．

(1)求三棱锥的体积；

(2)求点到