专题03 平面向量奔驰定理与三角形四心问题七种考法（原卷版）-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）_1.docx

专题03平面向量奔驰定理与三角形四心问题七种考法

一、方法讲解

1.奔驰定理：----解决面积比例问题

，则、、的面积之比等于

奔驰定理证明：如图，令，即满足

，，，故．

2.三角形四心与推论：

（1）是的重心：．

（2）是的内心：．

（3）是的外心：

．

（4）是的垂心：

．

3.常见结论

（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上．

为的内心．

（2）外心：为的外心．

（3）垂心：为的垂心．

（4）重心：为的重心．

4.三角形的四心与奔驰定理的关系

(1)O是△ABC的重心：.

(2)O是△ABC的垂心：.

(3)O是△ABC的内心：.

(4)O是△ABC的外心：

.

二、重难点例题及变式

类型一、奔驰定理

例．已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（?）

A． B． C． D．2

【变式训练1】奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA?OA+SB?OB+SC

A．25 B．12 C．1

类型二、重心问题

例．（1）已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的.（选填：外心、内心、垂心、重心）

（2）在△ABC中，已知AB=1,AC=3，点G为△ABC的外心，点O为△ABC重心，则=．

（3）设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则（?）

A． B． C． D．

【变式训练1】已知点O是△ABC的重心，过点O的直线与边AB,AC分别交于M,N两点，D为边BC的中点．若AD=xAM+yAN(x,y∈

A．32 B．23 C．2

【变式训练2】点O,P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足OP=OA+OB+OC，则直线OP

A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心

【变式训练3】如图所示，中为重心，过点，，，则．

??

类型三、垂心问题

例．（1）在△ABC中，若HA?HB=HB?HC=

A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心

（2）已知在中，，点为的垂心，则=（?）

A．15 B．16 C．17 D．18

【变式训练1】已知平面上四个点A,B,C,D，其中任意三个不共线．若AB?AD=AC?AD，则直线

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【变式训练2】已知的垂心为点，面积为15，且，则；若，则.

类型四、内心问题

例．在△ABC中，AB=2AC，动点M满足AM?(BC+AC)=0，则直线AM

A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心

【变式训练1】设的内角，，的对边分别为，，，是所在平面上的一点，，则点是的（?）

A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心

【变式训练2】设O为△ABC的内心，AB=AC=13，BC=10，AO?=mAB?+n

A．1336 B．1318 C．5

【变式训练3】已知△ABC所在的平面上的动点P满足AP=|AB|AC+|AC|AB

A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心

类型五、外心问题

例．（1）已知点在所在平面内，满足，则点是的（?）

A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心

（2）在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（?）

A．3 B．6 C．7 D．9

【变式训练1】为所在平面内一点，且满足，则是的（?）

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

【变式训练2】已知O是△ABC的外心，AB+AC=2AO，OA=AB，则向量

A．-14BC B．-2

【变式训练3】已知O为的外心，，则（?）

A．8 B．10 C．12 D．1

类型六、奔驰定理与四心问题

例．（1）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题错误的是（?）

A．若，则为的重心

B．若为的内心，则

C．若，为的外心，则

D．若为的垂心，，则

（2）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（?）

A．若，则为的重心

B．若，则

C．若，，，则

D．若为的垂心，则

【变式训练1】如图，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=

A．1:2:3B．1:2:4C．2:3:4 D．2:3:6

【变式训练2】在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，O是△ABC的内心，且AO=λAB

A．910 B．710 C