专题07 两点分布、二项分布、超几何分布及正态分布九种考法（解析版）_1.docx

专题07两点分布、二项分布、超几何分布及正态分布九种考法

TOC\o1-3\h\z\u解题知识必备 1

压轴题型讲练 1

类型一、两点分布……………………3

类型二、二项分布求参………………4

类型三、二项分布中的期望与方差 7

类型四、超几何分布求参 11

类型五、超几何分布中的期望与方差 13

类型六、正态分布的对称性 17

类型七、利用3δ原则求概率 19

类型八、正态分布中的期望与方差 23

类型九、概率与数列，统计与导数交汇 26

压轴能力测评（10题） 32

1、两点分布

（1）定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，

定义如果，则，那么X的分布列如表所示．

X

0

1

我们称X服从两点分布或0-1分布．

注意：随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是．

（2）适用范围

①研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律；

②研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。

如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。

2、独立重复试验与二项分布

独立重复试验

二项分布

定义

在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验

在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率

计算

公式

Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)

在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)

独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略

(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．

(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，继而求得概率．

3、超几何分布列

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.

X

0

1

…

m

P

eq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))

eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))

…

eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))

4、正态分布

正态密度函数

函数f(x)=，x∈R.其中∈R，0为参数.

利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为，二是最大值为．这两点确定以后，相应参数便确定了，代入中便可求出相应的解析式．

对称法：由于正态曲线是关于直线对称的，且概率的和为1，故关于直线对称的区间概率相等．如：

①；

②

正态变量在三个特殊区间内取值的概率

（1）；

（2）；

（3）．

在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则

正态曲线图像的特点：

(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

(3)曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；

(4)曲线与x轴之间的面积为1；

(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

正态分布的期望与方差

若，则，

类型一、两点分布

例．（1）已知随机变量X服从两点分布，且，，那么.

【答案】

【解析】由题意可知，解得.

故答案为：

（2）已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（???）

A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4

【答案】D

【解析】当时，由，

所以.

故选：D

【变式训练1】设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（???）

A．0.3B．0.35C．0.65D．0.7

【答案】C

【解析】随机变量服从两点分布，，

根据两点分布