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2025(完整版)平面向量知识点总结(精华)

向量的基本概念

向量是既有大小又有方向的量。向量的大小即向量的模，记作|$\overrightarrow{a}$|。长度为0的向量叫做零向量，记作$\overrightarrow{0}$，其方向是任意的。长度等于1个单位的向量叫做单位向量。与向量$\overrightarrow{a}$长度相等，方向相反的向量叫做$\overrightarrow{a}$的相反向量，记作$\overrightarrow{a}$，零向量的相反向量仍是零向量。方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量，规定零向量与任意向量平行。

向量的表示方法

几何表示：用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

字母表示：可以用小写字母$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$等表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如$\overrightarrow{AB}$，其中A为起点，B为终点。

坐标表示：在平面直角坐标系中，设$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量，对于平面内的任一向量$\overrightarrow{a}$，有且只有一对实数x，y，使得$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{i}$+y$\overrightarrow{j}$，则把有序数对(x，y)叫做向量$\overrightarrow{a}$的坐标，记作$\overrightarrow{a}$=(x，y)。

向量的线性运算

加法运算

三角形法则：已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，在平面内任取一点A，作$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，则向量$\overrightarrow{AC}$叫做$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的和，记作$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，即$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$。

平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线$\overrightarrow{OC}$就是$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的和。

运算律：交换律$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$；结合律($\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+($\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$)。

坐标运算：若$\overrightarrow{a}$=(x?，y?)，$\overrightarrow{b}$=(x?，y?)，则$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=(x?+x?，y?+y?)。

减法运算

三角形法则：已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，在平面内任取一点O，作$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$$\overrightarrow{b}$，即$\overrightarrow{a}$$\overrightarrow{b}$表示从向量$\overrightarrow{b}$的终点指向向量$\overri