高考备考资料之数学人教A版全国用讲义第十一章统计与统计案例113.docx

§11.3变量间的相关关系、统计案例

必威体育精装版考纲

考情考向分析

1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．

2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．

3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用．

4.了解回归分析的基本思想、方法及简单应用.

回归分析，独立性检验是全国卷高考重点考查的内容，必考一个解答题，选择、填空题中也会出现．主要考查回归方程，相关系数，利用回归方程进行预测，独立性检验的应用等.

1．两个变量的线性相关

(1)正相关

在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．

(2)负相关

在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．

(3)线性相关关系、回归直线

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

2．回归方程

(1)最小二乘法

求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

(2)回归方程

方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是待定参数．

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))?xi－\x\to(x)??yi－\x\to(y)?,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))?xi－\x\to(x)?2)＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x).))

3．回归分析

(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．

(2)样本点的中心

对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))称为样本点的中心．

(3)相关系数

当r0时，表明两个变量正相关；

当r0时，表明两个变量负相关．

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．

4．独立性检验

(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．

(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为

2×2列联表

y1

y2

总计

x1

a

b

a＋b

x2

c

d

c＋d

总计

a＋c

b＋d

a＋b＋c＋d

构造一个随机变量K2＝eq\f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．

(3)独立性检验

利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．(×)

(2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．(√)

(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．(√)

(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系，得线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－2.352x＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮．(×)

(5)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大．(√)

题组二教材改编

2．[P97A组T2]为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力()

A．回归分析 B．均值与方差

C．独立性检验 D．概率

答案C

解析“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断．

3．[P97练习]下面是2×2列联表：

y1

y2

合计

x1