热点八 方案设计题应用题.docx

?一、方案设计题应用题概述

方案设计题是近年来数学中考及各类实际问题解决中常见的题型。它主要考查学生综合运用数学知识、分析问题和解决问题的能力，要求学生根据给定的条件和要求，设计出合理的方案。这类题目往往具有较强的开放性和灵活性，没有固定的模式和套路，需要学生充分发挥自己的创新思维和实践能力。

方案设计题应用题通常涉及到生产生活的各个领域，如工程问题、资源调配问题、经济决策问题等。通过解决这些问题，学生不仅能加深对数学知识的理解和掌握，还能提高运用数学知识解决实际问题的意识和能力，培养创新精神和实践能力。

二、常见类型及解题策略

（一）工程方案设计

1.例题

某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件A产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B产品需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。

（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来。

（2）设生产A、B两种产品总利润为y（元），其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？

2.解题策略

（1）设生产A产品x件，则生产B产品(50-x)件。

根据甲、乙两种原料的数量限制列出不等式组：

\(\begin{cases}9x+4(50-x)\leq360\\3x+10(50-x)\leq290\end{cases}\)

解第一个不等式：

\(9x+200-4x\leq360\)

\(5x\leq160\)

\(x\leq32\)

解第二个不等式：

\(3x+500-10x\leq290\)

\(-7x\leq-210\)

\(x\geq30\)

所以\(30\leqx\leq32\)，因为x为整数，所以x可取30、31、32。

则有三种方案：

方案一：生产A产品30件，生产B产品20件；

方案二：生产A产品31件，生产B产品19件；

方案三：生产A产品32件，生产B产品18件。

（2）\(y=700x+1200(50-x)\)

\(y=700x+60000-1200x\)

\(y=-500x+60000\)

因为\(k=-500\lt0\)，所以y随x的增大而减小。

所以当\(x=30\)时，y有最大值，\(y_{max}=-500×30+60000=45000\)（元）。

即方案一获总利润最大，最大利润是45000元。

（二）资源调配方案设计

1.例题

某中学组织初一学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满。已知45座客车每日租金每辆220元，60座客车每日租金每辆300元。

（1）初一年级人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？

（2）若租用同一种车，要使每位同学都有座位，怎样租用更合算？

2.解题策略

（1）设原计划租用45座客车x辆。

根据学生人数不变可列方程：\(45x+15=60(x-1)\)

\(45x+15=60x-60\)

\(15x=75\)

\(x=5\)

则初一年级人数为：\(45×5+15=240\)（人）。

（2）若租用45座客车：\(240÷45=5\)（辆）\(\cdots\cdots15\)（人），需租6辆，租金为\(220×6=1320\)元。

若租用60座客车：\(240÷60=4\)辆，租金为\(300×4=1200\)元。

因为\(1200\lt1320\)，所以租用4辆60座客车更合算。

（三）经济决策方案设计

1.例题

某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。

（1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案。

（