直线的一般式方程教学设计-高二上学期数学人教A版选择性.docx

直线的一般式方程

教学目标：

1.理解直线的一般式方程的形式特征；

2.会把直线的一般式方程化为斜截式，进而求直线的斜率和截距；

3.会把直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式化为一般式；

4.学会用分类讨论的思想方法解决问题，培养学生处理数学问题的严谨性；

5.在理解直线的方程与方程的直线的过程中，体会数形结合思想在处理直线方程问题中的作用.

教学重点：

直线的一般式方程及不全为0的理解；

教学难点:

对直线的一般式方程的理解与应用.

教学过程：

一、复习回顾

问题1直线方程的四种形式

生：点斜式方程、斜截式方程、

两点式方程、截距式方程.

师：它们有怎样的区别与联系？

生：区别：应用条件不同、表达形式不同.

联系：都表示直线上任意一点横、纵坐标的关系.

追问1以上四种方程在表示直线时有怎样的局限性？

生：点斜式方程与斜截式方程，直线必须斜率存在，即直线与x轴不垂直；

两点式方程中，所以直线与x轴及y轴都不垂直；

截距式方程中，所以直线与x轴及y轴都不垂直，且直线不过原点.

探究新知

问题2能否用一种方程形式表示平面直角坐标系中的任何一条直线？

生：根据前面学习的四种直线方程形式，我们可以发现，它们都是关于的二元一次方程.

师：直线上任意一点，都可以通过该点的横、纵坐标表示，从而直线方程可以理解为直线上任意一点的横、纵坐标的关系，即关于的二元一次方程.

追问1在平面直角坐标系中的任意一条直线的方程是否都能用关于的二元一次方程表示？

师：我们以斜截式方程为例，当斜率存在时，整理为；当斜率不存在时，整理为，我们可以发现，这两种情况下整理出来的方程形式都是，在这里，不全为0，当全为0的时候，方程为，不表示直线.

追问2对于任意一个关于的二元一次方程（不全为0），是否都表示一条直线？

生：方程，当时，整理为，表示斜率为示，在轴上的截距为的直线；当时，由不全为0，可知，直线整理为，表示过点，且垂直于轴的直线.

师：（小结）直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，都可以化为（不全为0）；反之，二元一次方程（不全为0），可以按方程形式去凑成四种直线方程形式.

对于二元一次方程（不全为0）的每一组解，都可以看作平面直角坐标系中的直线上的点的坐标，所以我们把二元一次方程（不全为0）的叫做直线的方程；直线叫做二元一次方程（不全为0）的直线.

师：我们把关于的二元一次方程（不全为0）叫做直线的一般式方程（也称为关于的线性方程）——定义

师：（小结）

直线的方程

斜率不存在

斜率为0

直线过原点

点斜式

×

√

√

斜截式

×

√

√

两点式

×

×

√

截距式

×

×

×

一般式（不全为0）

√

√

√

例题解析

例1根据下列条件，分别写出直线的一般式方程：

过点，斜率为；（2）斜率为，在y轴上截距为7；

（3）过点，与x轴垂直；（4）过点，；

（5）过点，.

分析：根据前面所学的直线方程的四种形式，写出直线方程，最后将方程形式化为一般式.

解：（1）由直线过点，斜率为，根据点斜式直线方程，得，

整理得一般式方程.

（2）由直线斜率为，在y轴上截距为7，根据斜截式直线方程，得，

整理得一般式方程.

（3）由直线过点，与x轴垂直，得直线方程，，整理得一般式方程.

（4）由直线过点，，可得斜率为，根据点斜式直线方程，得，

整理得一般式方程.

（5）由直线过点，，根据截距式直线方程，得，

整理得一般式方程.

例2求直线的斜率以及它在轴、轴上的截距，并作图.

分析：将直线的一般式方程化为斜截式方程，得直线的斜率和直线在轴上的截距，再令，解得的值，从而得到直线在轴上的截距.

根据直线与两坐标轴的交点，可以经过两点绘制直线.

53Oxy解：将直线的方程化为斜截式：

5

3

O

x

y

因此，直线的斜率为，直线在轴上的截距为3，

令，得，所以直线在轴上的截距为5.

过两点（5,0），（0,3）作直线，就得到直线.

例3设为实数，若直线的方程为，

根据下列条件分别确定的值：

（1）直线在轴上的截距是；

（2）直线的斜率是1；

（3）直线垂直于轴.

分析：（1）令，解得的值，从而得到直线在轴上的截距；

由直线的斜率是1，可知，将直线方程化为斜截式；

直线垂直于轴时，则斜率不存在.

解：（1）令，得.由题意知，解得.

（2）因为直线的斜率存在，所以，于是直线的方程化为.

由题意知，解得.

（3）因为直线垂直于轴，所以斜率不存在，所以.

思考（4）直线在轴、轴上的截距之和等于.

拓展延伸设为实数，且不同时为0.

若直线的方程为，根据下列条件，分别求出应满足的条件：

（1）直线过原点；（2）直线垂直于轴；

（3）直线垂直于轴；（4）直线与两条坐标轴都相交.

解：（1）当直线过原点时，把点（0，0）代入中，可得，

所以不全为0，.