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*例4求下列方程组的全部解解用初等行变换化增广矩阵为阶梯形由于r(A)=r(A,b)=2,所以方程组有解.又因为n-r=5-2=3,导出组有三个自由未知量:x3,x4,x5,导出组的基础解系也由三个解向量组成,可用前面的方法求得对非齐次方程组,令x3=x4=x5=0,求出一个特解原次方程组的全部解为r0=(-2,3,0,0,0)TX=r0+c1?1+c2?2+c3?3c1，c2，c3为任意常数例5设方程组AX=b的增广矩阵为解问:a,t取何值时,方程组无解,有惟一解,无穷多解？有无穷多解时，求全部解用初等行变换化增广矩阵为阶梯形(A,b)=(1)当a?2且t?1时,r(A,b)=r(A)=4=n,解惟一(2)当t=1时,r(A,b)=4?3=r(A),无解(3)a=2,t?4时无解(4)当a=2,而多解.此时,即t=4时,有无穷(A,b)?112-110123-10001200036?112-110123-100012000001000100120-70001200000?x1=10x2=-7–2x3x4=2X=x1x2x3x410-702=+k10-210(k1为任意常数)设A是3?4矩阵，已知r(A)=2,且X1=(1,1,1,1)T;X2=(1,-1,-1,1)T;X3=(-1,1,1,-1)T是非齐次线性方程组AX=b的三个解,求AX=b的全部解解因为X1－X2=(0,2,2,0)TX1－X3=(2,0,0,2)T是AX=0的两个线性无关解,又4-r(A)=2例6?X1－X2,X1－X3是AX=0的基础解系,于是得AX=b的全部解X=X1+k1(X1－X2)+k2(X1－X3)=(1,1,1,1)T＋k1(0,2,2,0)T＋k2(2,0,0,2)T(k1,k2为任意常数)设A是m?n矩阵且mn,对方程组AX=b以下哪个成立？(A)AX=O没有非零解(B)AX=O必有非零解(C)AX=b必有唯一解(D)AX=b必有无穷解(E)AX=b必无解[答案:（B）]例7*
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