平面向量典型题型 专项练 2025年高考数学一轮复习备考.docxVIP

平面向量典型题型专项练

2025年高考数学一轮复习备考

一、单选题

1．在中，点满足，则（）

A． B．

C． D．

2．已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（????）

A． B．2 C． D．

3．已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法不正确的是（????）

A．若，则O是的外心

B．若，则I是的内心

C．若，则P是的垂心

D．若，则N是的重心

4．在矩形中，，，在上，且，则（????）

A． B． C． D．

5．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（????）

A． B．

C． D．

6．如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心?半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．已知三点A，B，C共线，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则的最小值为（????）

A．不存在最小值 B． C．4 D．

8．如图，中，，，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（????）

A．若是的重心，则有

B．若成立，则是的内心

C．若，则

D．若是的外心，，，则

10．在中，下列说法正确的是（????）

A．若点H满足，则点H是的外心

B．若，则AP所在直线经过的内心

C．若，AB=AC=2，，则的范围为

D．若，AB=4，，，则

11．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（????）

A． B．

C． D．

12．已知向量，，则下列结论正确的是（????）

A．若，则

B．若，则

C．若与的夹角为，则

D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是

三、填空题

13．已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是.

14．如图，已知正方形的边长为，且，连接交于，则

15．如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，.若，，则的最小值是.

16．在中，N是AC上的一点，且，P是BN上的一点，设，则实数m的值为.

四、解答题

17．在中，过重心G的直线与边交于P，与边交于Q，点P，Q不与B，C重合.设面积为，面积为，，.

(1)求；

(2)求证：；

(3)求的取值范围.

18．如图，在中，OC=14OA，OD=12OB，AD与BC

(1)试用，表示向量；

(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得EF过点M，设，，求的最小值.

19．设向量，，其中.

(1)若，求实数x的值；

(2)已知且，若，求的值域.

参考答案：

1．A

根据题意如下图所示：

根据向量加法法则可知，又，所以

即，

可得.

2．A

在向量上的投影向量为.

.

3．B

对于选项A：若，即到的距离相等，

根据外心的定义可知：O是的外心，故A正确；

对于选项B：若，则，

即I是三边高线的交点，所以I是的垂心，故B错误；

对于选项C：若，

则PA?PB?

同理可得：，由选项B可知：P是的垂心，故C正确；

对于选项D：若，则NA+NB+NC=2ND

即NC=?2ND，根据重心的性质可知：

4．C

∵，∴，又，

∴???，

∵??，

∴，

又四边形为矩形，，，，

∴，，

∴，

∴???.

5．A

如图所示，，则由题意可知:，

由勾股定理可得

??

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，

则：?=

，则

当时，有最大值.

??

当点位于直线同侧时，设，

则：

，

，则

当时，有最大值.

综上可得，的最大值为.

6．B

解：由题意，，且，，

所以，，

所以，

易知，当时，最小，

所以，即，解得，

故的最小值为．

7．D

设，因为A在线段BC上（不含BC端点），

所以由向量共线定理设，

所以，

由题意有，所以，所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

所以的最小值为.

8．A

在中，，，，

由余弦定理得，

所以，

又由正方形的边长为，可得，

则

，

正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），可得，

所以，即的取值范围是.

9．AB

对于A：如图所示：因为分别为的中点，

所以，，

同理可得、，

所以，

又因为，

所以PA+

对于B：记点到的距