微专题01 平面向量的概念5种常考题型总结（解析版）_1.docx

微专题01平面向量的概念8种常考题型总结

题型1向量与数量的辨析

题型2向量的模

题型3零向量与单位向量

题型4向量的几何表示

题型5相等向量

题型6共线向量

题型7用向量关系研究几何图形的性质

题型8平面向量概念综合

向量：既有大小又有方向的量叫做向量

数量：只有大小没有方向的量称为数量.

注：(1)向量不能比较大小（因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小），向量的模可以比较大小

(2)向量与数量的区别

判断一个量是否为向量，应从两个方面入手：①是否有大小，②是否有方向.

向量的表示

(1)表示工具——有向线段．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度,如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作eq\o(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))的长度记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.

易错辨析：有向线段就是向量，向量就是有向线段.

有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，

(2)表示方法：

几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.

字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))).

向量的模：向量的大小叫做向量的长度(模)．任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0

4．零向量：长度为eq\a\vs4\al(0)的向量，记作0.零向量的方向是任意的.

5．单位向量：长度等于1个单位长度的向量．任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同.

注：单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量eq\f(a,|a|)和－eq\f(a,|a|).

6．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，

注：①记法：向量a平行于向量b，记作a∥b.

②规定：零向量与任一向量平行．

③共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.

注：共线向量中“共线”的含义不是平面几何中的“共线”的含义，共线向量中的“共线”

对应平面几何中的两种情况——

①表示两个向量的有向线段在同一直线上；

②表示两个向量的有向线段所在的直线互相平行.

易错辨析：（1）若，则与的方向相同或相反

零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若，则对于非零向量，必有，但与的方向不一定相同或相反

（2）若，，则

若，则零向量与任意向量平行，所以对任意向量与，均有，，故此时与不一定平行

若，则或

向量的长度相等，但方向不一定相同或相反

（4）两个共线的非零向量的起点与终点一定共线

两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行

相等向量：长度相等且方向相同的向量．

相等的向量方向相同且长度相等，所以相等向量一定是共线向量；

但是共线向量的模不一定相等，所以共线向量不一定是相等向量.

要点诠释

1.准确把握向量的两个要素：大小和方向是向量的本质特征。在判断向量相关命题时，要从这两个方面入手。例如判断两个向量是否相等，就看它们的大小是否相等以及方向是否一致。

2.重视零向量的特殊性：零向量的方向任意，这使得它在很多向量关系中有特殊地位。如在向量平行的判定中，因为零向量与任意向量平行，所以在考虑向量平行问题时，不能忽略零向量的情况，否则容易出错。

3.理解单位向量与原向量的关系：单位向量是为了突出向量的方向而引入的概念。对于一个非零向量，其单位向量是将原向量的模变为，方向不变得到的。通过单位向量，可以更方便地研究向量的方向问题。

4.明确平行向量与共线向量的等同性：平行向量和共线向量是同一概念的不同表述，它们强调的是向量方向之间的关系。在解决几何图形中向量关系问题时，利用平行向量（共线向量）的性质，可以建立不同向量之间的联系。

5.注意相等向量与相反向量的区别和联系：相等向量和相反向量都要求长度相等，区别在于方向，相等向量方向相同，相反向量方向相反。它们都反映了向量之间一种特殊的关系，在向量运算和几何问题中经常用到。

题型1向量与数量的辨析

【例1】下列各量中是向量的为（）

A．海拔 B．压强 C．加速度 D．温度

【解析】向量是既有大小，又有方向的量，

海拔，压强，温度只有大小，没有方向，加速度既有大小，又有方向，

加速度是向量，故选：．

【变式1】给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是()

A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②