甘肃省兰州市2025届高三下学期诊断考试（一模）数学试题.docx

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2025年兰州市高三诊断考试

数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时、将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.若复数，则（）

A.1 B. C.3 D.5

2.与向量反向的单位向量是（）

A. B. C. D.

3.已知集合，以下判断正确的是（）

A.是充分条件 B.是的既不充分也不必要条件

C.是的必要条件 D.是的充要条件

4.若函数（e为自然对数底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（）

A B. C. D.

5.已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

6.一个铅垂做单摆运动时，离开平衡位置的位移y关于时间x的函数图象如图所示，函数关系满足，当时，x不可能是（）

A. B. C. D.

7.将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前三位数字构成三位数a，后三位数字构成三位数b，记，m大于100的概率是（）

A. B. C. D.

8.已知双曲线C的焦点为，过点的直线与双曲线C交于A，B两点．若，，则双曲线的渐近线方程为（）

A. B. C. D.

二、多选题（体大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）

9.在某班级的一次测验后，随机抽取7名同学的成缆作为样本，这7名同学的成领分别为78，80，81，84，87，88，90，则（）

A.估计这次考试全班成绩的平均分为84

B.从样本中任取两人成绩，均大于平均分的概率是

C.样本的分位数是87

D.当该样本中加入84形成新样本时，新样本方差小于原样本方差

10.已知曲线，则以下说法正确的是（）

A.点在曲线内部 B.曲线关于原点对称

C.曲线与坐标轴围成的面积为 D.曲线的周长是

11.已知函数和，以下判断正确的是（）

A.函数在区间内有唯一的零点

B.时，

C.时，

D.存在正实数a，当时，对于任意大于1的正实数N，

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.函数在上的最小值为__________．

13.在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为__________．

14.正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为__________．

四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15.已知正四棱柱底面边长为3，点E、F分别在直线AD、CD上，，．

（1）证明：平面；

（2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．

16.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”这二十八字节气歌是我国古人智慧的结晶．某文具店试销二十四节气书签，每套书签24张，分别印有春夏秋冬四季节气各6张．文具店为促销进行抽奖活动，凡购买一套二十四节气书签可参加抽奖，抽奖规则如下：从一套书签中挑出6张春季卡，6张夏季卡，将其中3张春季卡和3张夏季卡装在一个不透明的盒中，剩余的3张春季卡和3张夏季卡放在盒外．现从盒中随机抽出一张卡，若抽出春季卡，则把它放回盒子中，若抽出夏季卡，则该卡与盒外的一张春季卡置换．如此操作不超过4次，将盒中的夏季卡全部置换为春季卡，则停止抽卡并额外获得2套二十四节气书签，否则不获奖．

（1）求只抽3次即获奖的概率；

（2）若促销的30天中预计有360人参加活动，从数学期望的角度分析商家准备多套少书签作为奖品更为合理？

17.已知椭圆上顶点为，离心率为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若椭圆的焦点在x轴上，过点A的直线与椭圆E交于点B，并与圆相切，已知点，直线QB与椭圆E交于点C，证明：AC与相切．

18.已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：；

（3）若数列满足，证明：（e为自然对数的底）．

19.已知曲线．

（1）定义：若对于曲线上任意一点沿向量平移得到点仍在曲线上，其中T与是不同时为0的常数，则称曲线沿向量的方向上有周期性．判断是否存在向量使曲线S具有周期