专题06 正余弦定理的应用十一种考法（原卷版）-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）（新高考地区专用）_1.docx

专题06正余弦定理的应用十一种考法

一、方法讲解

1.正弦定理的应用：

=1\*GB3①边化角，角化边

=2\*GB3②大边对大角大角对大边

=3\*GB3③合分比：

2.余弦定理的应用：

（1）a2＝b2＋c2－2bccosA；

b2＝c2＋a2－2cacosB；

c2＝a2＋b2－2abcosC

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；

cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；

cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)（2）内角和定理：

3.面积公式：

（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）

4.三角形内角和定理：

在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).

5.三角形中的三角函数关系

=1\*GB3①sin(A＋B)＝sinC；=2\*GB3②cos(A＋B)＝－cosC；=3\*GB3③sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；=4\*GB3④coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2)

6.三角形中的射影定理

同理有：，．

7.解三角形多解情况

在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

解的个数

一解

两解

一解

一解

无解

注：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

（4）代数变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．

二、重难点例题及变式

类型一、正弦定理解三角形

例．（1）在中，，，，则角的值为（）

A． B．或 C． D．

（2）中，角A，B，C所对的边分别为已知，则（）

A． B． C． D．

【变式训练1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则.

【变式训练2】在中，角所对的边分别为，若，则（）

A． B． C． D．

类型二、余弦定理解三角形

例．（1）在中，角所对的边分别为.若，则（）

A．2 B．4 C．16 D．

（2）的内角所对边分别为，若，则角的大小（）

A． B． C． D．

【变式训练1】在中，如果，则（）

A. B. C. D.

【变式训练2】在中，角所对的边分别为，若，则（）

A. B.2 C.1或2 D.2或

类型三、边角互化的应用

例．（1）若的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则（）

A． B． C． D．6

（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（）

A． B． C． D．

【变式训练1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B=.

【变式训练2】在中，角所对的边分别为，已知，则（）

A． B． C． D．

类型四、三角形解的个数

例．（1）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（）

A． B．

C． D．

（2）在中，，，，若满足条件的有且仅有一个，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

【变式训练1】在中，，，满足此条件有两解，则BC边长度的取值范围为（）

A． B． C． D．

【变式训练2】在中，内角所对的边分别为，则下列判断正确的是（）

A．，，，有两解 B．，，，有一解

C．，，，无解 D．，，，有一解

类型五、判断三角形的形状

例．（1）在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定

（2）在中，若，则这个三角形是．

【变式训练1】已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【变式训练2】在中，内角所对边分别为，若，则的形状是（）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

类型六、三角形中的面积公式

例．（1）记的内角的对边分别为，若，则的面积为（）

A． B． C． D．

（2）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为．