专题7.2 复数的运算（4类必考点）（人教A版2019必修第二册）（解析版）_1.docx

专题7.2复数的运算

TOC\o1-3\h\z\t正文,1【基础知识】 1

【考点1：复数的加减运算】 1

【考点2：复数的乘除运算】 5

【考点3：特殊复数的运算】 8

【考点4：复数集内解方程或因式分解】 11

【基础知识】

【知识点：复数的运算法则】

1、设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：

(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

(4)eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(?a＋bi??c－di?,?c＋di??c－di?)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．

2、复数的乘法

(1)复数的乘法类似于两个多项式相乘，即把虚数单位i看作字母，然后按多项式的乘法法则进行运算，最后只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别结合即可，但要注意把i的幂写成简单的形式；

(2)实数范围内的运算法则在复数范围内仍然适用，如交换律、结合律以及乘法对加法的分配律、正整数指数幂的运算律，这些对复数仍然成立．

3、复数的除法运算

关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：

(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；

(2)对分子、分母分别进行乘法运算；

(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．

[易错提醒]

在乘法运算中要注意i的幂的性质：

(1)区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a，b∈R);

(2)区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)与(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a，b∈R)．

【考点1：复数的加减运算】

【知识点：复数的加减运算】

1．（2025高一下·全国·课后作业）复数在复平面内对应的点在（???）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】利用复数的四则运算化简，利用复数的几何意义即可得解.

【详解】由复数，

可得其在复平面内对应的点为，位于第二象限．

故选：B．

2．（2025高三下·河南新乡·阶段练习）复数满足，则的虚部为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，则，利用复数的加法以及复数相等可求出、的值，可得出复数，即可得出结果.

【详解】设，则，

所以，，

所以，解得，，故，即复数的虚部为.

故选：A.

3．（2025高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知复数为纯虚数，且满足，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，根据题意得到，进而求出和.

【详解】复数为纯虚数，可设，

，，

，，，

当时，，

当时，，

故选：A.

4．（2025·山东菏泽·一模）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的几何意义及复数的减法运算即可求解.

【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为，

所以

所以向量对应的复数为.

故选：D.

5．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知复数，满足，且，则（????）

A． B． C．5 D．

【答案】C

【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的模长加减运算数形结合求解即可.

【详解】设对应的复数为，对应的复数为，

则对应的复数为，对应的复数为，

因为，且，由勾股定理逆定理知道，

为直角三角形，且.

作长方形，如图所示，

则对应的复数为，故.

故选：C.

6．（多选）（2025高一下·全国·课后作业）（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（???）

A． B．点位于第二象限

C． D．

【答案】ACD

【分析】运用复数的加减运算规则，结合几何意义和模长概念画出表格计算判断即可.

【详解】

A

√

B

×

由题意得，，，因为四边形为平行四边形，则，所以，所以，点位于虚轴上

C

√

如图，，，对应的向量分别为，，，则，，即，

D

√

故选：ACD.

7．（2025高一下·全国·课后作业）若，且为纯虚数，则复数．

【答案】

【分析】设（x，），然后根据题意列方程组可求出，从而可求出复数.

【详解】设复数（x，），则．

由题意知或．

故答案为：

8．（2025高一·上海·课堂例题）已知复数，，其中．若，求的值．

【答案】

【分析】利用复数的加法运算求得，再由复数相等的条件列式求解