专题7.4 二项式定理（十个重难点突破）（解析版）_1.docx

专题7.4二项式定理

一、二项展开式的应用

六、（奇偶项）系数之和问题

二、求特定项（系数）

七、（二项式）系数的最值问题

三、求展开式的有理项

八、整除与余数问题

四、二项式乘积问题

九、近似计算问题

五、三项式问题

十、杨辉三角

知识点1二项式定理

.这个公式叫做二项式定理,

右边的多项式叫做的二项展开式,其中各项的系数叫做二项式系数,式中的叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.

知识点2二项展开式形式上的特点

（1）项数为；（2）各项的次数和都等于二项式的幂指数,即与的指数的和为.

（3）字母按降幂排列,从第一项开始,次数由逐项减小1直到零;字母按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增加1直到.

知识点3二项式系数的性质

（1）每一行的两端都是1,其余每个数都等于它“肩上”两个数的和,这实际上反映了组合数的下列性质:.

（2）对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即

（3）二项式系数先增后减中间项最大

当为偶数时,第项的二项式系数最大,最大值为,当为奇数时,第项和项的二项式系数最大,最大值为或.

（4）各二项式系数的和：

重难点一、二项展开式的应用

【例1】若（，为有理数），求的值.

【答案】44

【详解】

，

又（，为有理数），

所以，.

【例2】若对恒成立，其中，则（????）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】D

【详解】

，

，即.

故选：D

【变式1-1】求的展开式．

【答案】

【详解】

.

【变式1-2】的值是（????）

A． B．1 C．0 D．22024

【答案】B

【详解】

.

故选：B.

【变式1-3】已知，若，则．

【答案】

【详解】因为，

所以，解得．

故答案为：.

（1）正用:将二项式展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,先化简再用二项式定理展开.

（2）逆用:将展开式合并成二项式的形式,即二项式定理从右到左使用是合并,对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律.

重难点二、求特定项（系数）

【例3】的展开式中的中间项为（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意，且，

所以为中间项，即为．

故选：B

【例4】若二项式展开式中的常数项为160，则．

【答案】2

【详解】由题二项式展开式的通项公式为：，

所以当时的项为常数项，解得.

故答案为：2.

【变式2-1】二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为.

【答案】15

【详解】二项式的展开式的通项公式为，

令，求得，

由展开式中常数项为，得，解得.

令，求得，

所以含项的系数为.

故答案为：15.

【变式2-2】已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（????）

A．60 B． C．448 D．

【答案】A

【详解】∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴，则，

则展开式通项公式是，

令，得，∴的系数为，

故选：A.

【变式2-3】已知，则．（用数字作答）

【答案】

【详解】令，则，

所以，即为，

又展开式的通项为，（其中且），

所以.

故答案为：

①明确所求项的指数条件，解方程确定值；②注意区分二项式系数与项的系数，尤其含负号或分数时需谨慎计算

重难点三、求展开式的有理项

【例5】（多选）的展开式中的有理项有（????）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【详解】的展开式通项为，

由可得，

所以，展开式中的有理项有：，，

，

故选：ABD.

【例6】二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为（???）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】D

【详解】二项式的展开式的通项公式为：

，

令，得，所以展开式中的有理项有项，

把展开式中的项重新排列，先把项无理项全排列，

再把项有理项插入形成的个空中，所以有理项互不相邻的排法种数为种.

故选：D.

【变式3-1】已知二项式．

(1)写出当时的展开式；

(2)写出当时所有的有理项．

【答案】(1)

(2)，，

【详解】（1）

（2）因为当时，二项式的通项为，

所以当时，；当时，；当时，．

所以当时，所有的有理项为，，

【变式3-2】展开式中有理项的个数为.

【答案】34

【详解】二项式展开式通项为，

当是整数，即是3的整数倍时，是有理项，

因此可以取，共34个，

所以展开式中有理项的个数为34.

故答案为：34

【变式3-3】已知展开式中的有理项不少于3项，则的最小值为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【详解】二项式展开式的通项为，即，其中．

当为有理项时，必为偶数．

当时，，．

其中，当的值分别为时，为有理项，共有3项．