2024-2025学年试题数学七平面向量基本定理.docx

七平面向量基本定理

(时间:45分钟分值:90分)

【基础全面练】

1.(5分)(2024·周口高一检测)设{e1,e2}是平面内一个基底,则下面四组向量中,能作为基底的是()

A.e1e2与e2e1

B.2e1+3e2与4e16e2

C.e1+2e2与2e1e2

D.12e1+18e2与e11

【解析】选C.对于A,设e1e2=λ(e2e1),可得λ=1,所以向量e1e2与e2e1共线,所以A不符合题意;

对于B,设2e1+3e2=μ(4e16e2),可得μ=12,所以向量2e1+3e2与4e16e2共线,所以B不符合题意

对于C,设e1+2e2=x(2e1e2),可得1=2x2=?x

所以向量e1+2e2与2e1e2不共线,可以作为一个平面基底,所以C符合题意;

对于D,设12e1+18e2=y(e114e2),可得y=12,所以向量12e1+18e2与e114e

2.(5分)(2024·深圳高一检测)在梯形ABCD中,设=a,=b,若=2,则=()

A.12a+b B.12a

C.a+12b D.a1

【解析】选A.=+=b+12=b+12a.

3.(5分)(2024·泰州高一检测)如图,向量ab等于()

A.2e14e2 B.4e12e2

C.e13e2 D.e1+3e2

【解析】选D.如图所示,ab=b(a)==e1+3e2.

4.(5分)(2024·郑州高一检测)在平行四边形ABCD中,点E满足=4,=λ+μ(λ,μ∈R),则λμ=()

A.316 B.38 C.316

【解析】选A.因为=4,

则=4(),

整理得=14+34=1434,

可得λ=14,μ=3

所以λμ=14×34=316

5.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别在BC,CD上,且满足BC=3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,则△AMN的形状是()

A.锐角三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形 D.等腰三角形

【解析】选C.因为·=(+)·(+)=+34·1314

=13||2316||2=13×9316

所以AN⊥MN,所以△AMN是直角三角形.

6.(5分)(多选)如果{e1,e2}是平面α内所有向量的一个基底,那么下列说法正确的是()

A.若存在实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0

B.对平面α内任一向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈R

C.λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)不一定在平面α内

D.对于平面α内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对

【解析】选AB.平面内的任一向量都可以用基底表示;

C错误,在平面α内任一向量都可表示为λ1e1+λ2e2的形式,故λ1e1+λ2e2一定在平面α内;

D错误,这样的λ1,λ2是唯一的,而不是无数对.

7.(5分)(2024·潍坊高一检测)已知{a,b}是平面向量的一个基底,实数x,y满足3a+4b=(x1)a+(2y)b,则x+y=____________.?

答案:2

【解析】因为{a,b}是平面向量的一个基底,且3a+4b=(x1)a+(2y)b,

所以x?1=32?y=4

所以x+y=4+(2)=2.

8.(5分)(2024·运城高一检测)如图,在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,G为AC与DE的交点,若=a,=b,则用a,b表示=______________.?

【分析】在平行四边形ABCD中,易证△AGD∽△CGE,又E是BC的中点,可得=23,进而可得==23=23(+),化简即可.

答案:23b1

【解析】在平行四边形ABCD中,易证△AGD∽△CGE,又E是BC的中点,

所以CEAD=12=CGAG,所以=2

所以==23

=23(+)=2313

=23b13

9.(5分)(2024·天津高一检测)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,且AC=BC=3,点M满足=2,则·=__________.?

答案:3

【解析】因为∠ACB=90°,所以·=0,

因为=2,

所以=+=+13

=+13()=13+23,则·=13+23·=13=3.

10.(10分)设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e12e2,b=e1+3e2.

(1)证明:{a,b}可以作为一个基底;

(2)以{a,b}为基底表示向量c=3e1e2.

【解析】(1)假设a=λb(λ∈R),

则e12e2=λ(e1+3e2).

由e1,e2不共线,得λ=1,3

所以λ不存在.

故a与b不共线,可以作为一个基底.

(2)设c=ma+nb(m,n∈R),

则3e1e2=m(e12e2)+n(e1+3e2)

=(m+n)e1+(2m+3n)e2.

所以m+n

所以c=2a+b.

【补偿训