2025届河北省秦皇岛市昌黎第一中学高三下学期英才班一轮中期检测（一模）数学试卷.docx

数学模拟测试

本试卷共150分考试时间120分钟

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名?准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数在复平面内对应的点为，若，则（）

A. B.

C. D.

2.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

3.已知单位向量，若，则（）

A. B. C. D.

4.正整数的倒数和，通常也称为调和数列的和.当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，.若表示不超过的最大整数，则的值为（）（参考数据：）

A.4 B.5 C.6 D.7

5.已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则（）

A.1 B.2 C.3 D.4

6.已知圆与轴相切于点，过点直线交圆于另一点，点为坐标原点，若，则直线的方程为（）

A. B.

C. D.

7.已知圆台的上?下底面圆的半径分别为2，5，侧面积为，则以该圆台外接球的球心为顶点，上?下底面圆为底面的两个圆锥的体积比为（）

A. B. C. D.

8.若存在正实数，使得，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.的展开式中（）

A.前三项系数之和为112

B.二项式系数最大的项是第3项

C.常数项为240

D.所有项的系数之和为1

10.已知定义在上的函数，若，都有，且的值域为，则以下结论正确的是（）

A.

B.

C.为偶函数

D.的图象关于点中心对称

11.已知椭圆为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为，延长，交椭圆于点，且为椭圆的左顶点，为坐标原点，下列说法正确的是（）

A.若，则椭圆的离心率为

B.若，则椭圆的离心率为

C

D.若，则

三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合，集合，若集合满足?，则这样的集合共有__________个.

13.在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为__________.

14.在维空间中，以单位长度为边长“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中的两点与的曼哈顿距离为，则6维空间“立方体”的顶点数为__________；若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则__________.

四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.如图所示，在四棱锥中，平面为上一点，且.

（1）证明：平面.

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

16.近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加.下表为某城市统计的近5年新能源汽车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增新能源汽车的数量.

年份

2020

2021

2022

2023

2024

年份代号

1

2

3

4

5

新增新能源汽车万辆

1.2

1.8

2.5

3.2

3.8

（1）计算样本相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性.

（2）求关于的经验回归方程，并据此估计该城市2026年的新增新能源汽车的数量；

参考数据：.参考公式：.

17已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数有2个零点，求实数的取值范围；

（3）若关于的方程有两个不相等的实数根，记其中一个实数根为，求证：.

18.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作斜率为的直线，直线与双曲线交于点，且的内切圆半径恰为.

（1）求双曲线的方程.

（2）若直线交双曲线的右支于两点，线段的中垂线过点.

（i）证明：.

（ii）求的取值范围.

19.若数列满足：对任意正整数，都存在正整数，使得成立，则称数列为“阶归化数列”.设为数列的前项和.

（1）若数列为“2阶归化数列”，且满足，证明：，且等号在时取到.

（2）若数列为“16阶归化数列”，且满足，求的所有可能取值.

（3）若正项数列为“阶归化数列”，且满足.证明：对于任