固体物理导论第2章 晶格振动.pptxVIP

晶格的振动?

研究方式---严格求解不可能，近似求解-最初提出（1927年玻恩–奥本海默近似-绝热近似：考虑到离子的质量要比电子大很多，钠1800倍左右，同样相互作用下，原子核的动能比电子也小得多，这一速度的差异（从电子角度看，离子几乎不动，是在静止离子势场中；离子角度，电子太快，感受不到电子的具体位置，只能受到平均作用力。由此，复杂问题分成两部分：一部分，研究电子看成离子不动，电子在离子组成的周期晶格中运动，离子提供周期势场---固体的电子理论；另一部分，离子在电子平均势场运动，可看成中性原子在格点附近做微小运动---晶格振动。最后电子和离子两部分关联。量子力学：可以实现原子核坐标与电子坐标的近似变量分离，整个体系的波函数分解为求解电子波函数和求解原子核波函数两个相对简单得多的过程。

在玻恩－奥本海默近似下，体系波函数可以被写为电子波函数与原子核波函数的乘积

玻恩（犹太）两大贡献：（1927）波函数的统计解释，1954获诺奖，晶格振动理论的创始人奥本海默（1904-1967）“原子弹之父”（玻恩学生，美到英留学，毕业论文：多体问题，提出近似）回美-42年曼哈顿计划，总策划人，擅长于组织管理能力，精通八种语言。“曼哈顿工程区”工作15万人当中，只有12个人知道全盘的计划。1945年7月16日成功地进行了世界上第一次核爆炸，并按计划制造出两颗实用的原子弹，后受政治迫害，其弟弟弗兰克是核物理和铀浓缩的粒子物理学家，50年代同样受到了麦卡锡主义的迫害。弗兰克与妻儿被“下放”到科罗拉多州做了十年的牧民，出于对科学教育的热爱，他后来还在科罗拉多大学及一所中学教授物理。60年代初，弗兰克开始了他的环球考察，一种新的构想在他的脑海中开始涌现——建立一种新型的科技博物馆。1969年，旧金山探索馆（Exploratorium）应运而生。

3.1一维晶格的振动1.振动方程及其解(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，原子质量为m。第n个原子第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子aXn-2Xn-1XnXn+1Xn+2

用xn和xk分别表示序号为n和k的原子在t时刻偏离平衡位置的位移，用xnk=xn-xk表示在t时刻第n个和第k个原子的相对位移。第n个原子第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子aXn-2Xn-1XnXn+1Xn+2(2)振动方程和解平衡时，第k个原子与第n个原子相距为两个原子间的互作用势能，平衡时为，

t时刻为nkx静态能量微商后取平衡值振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（?r）二次方以上的高次项，只保留到(?r)2项---简谐近似。（即能量与位移二次方，力与位移一次方比例）

弹性恢复力系数原子的振动方程:(忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。)得:第n个与第k个原子间的相互作用力:

只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：给出试探解：将试探解代入振动方程得:原子都以同一频率?，同一振幅A振动,相邻原子间的位相差为aq。晶格中各个原子的振动相互间都存在着固定的位相关系,即原子的振动形成了波，这种波称为格波。

色散关系(晶格振动谱)

由色散关系式可画图如下:2.色散关系?是波矢q的周期性函数,且?(-q)=?(q)。?0?m

且即

3.玻恩---卡曼周期性边界条件及波矢q的取值(1)玻恩---卡曼（在其研究工作首次提出）---周期性边界条件（原子链两端原子方程不成立）设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。故取简约布里渊区——只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题——其它区域不能提供新的物理内容

晶体中任一个原子，当其原胞标数增加N（N为晶体中原胞的个数）后，其振动情况复原。由N个原胞组成的单原子链，由玻恩---卡曼周期性边界条件:一维下：可看成首尾相连周期边界条件对研究体内原子无影响，实验也可证明此模型合理，但边界问题，薄膜问题，纳米问题等不合理对于一维布拉维晶格(原胞标数与原子标数相同):整数(2)波矢q的取值

波矢也只能取N个不同的值。(共N个值)晶格振动波矢只能取分立的值独立的格波波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目=自由度数目格波物理含义

这种波称为格波，也称为独立振动模式。一个振动模式代表一个有规律的所有原子集体运动。即原子都以同频率，同振幅振动,晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关系,即原子的振动形成了波。也只能取N个不同的值。显然独立解的线