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(完整版)正余弦定理的综合应用

(完整版)正余弦定理的综合应用

(完整版)正余弦定理的综合应用

正余弦定理的综合应用

1.正弦定理的作用

（1）已知三角形的任意两个角与__一边____，求其他两边和另一角．

（2）已知三角形的两边与其中一边的_对角_____，求另一边的对角，进而计

算出其他的边和角．

(3)边化角，角化边．

练习：

(1）已知△ABC中，a＝2，A＝45°，B＝30°，求b、c和C；

（2)已知△ABC中，a＝eq\r(3），b＝1,B＝120°，求A、C及c；

(3）在△ABC中,lga－lgc＝lgsinB＝lgeq\f（\r(2），2)，且B为锐角，判断三角形的形状．

[解析］（1)根据三角形内角和定理,得

C＝180°－（A＋B）＝180°－（45°＋30°)＝105°。

根据正弦定理,得

b＝eq\f(asinB，sinA)＝eq\f（2sin30°,sin45°）＝eq\f(2×\f（1，2)，\f(\r（2),2))＝eq\r(2）,

c＝eq\f（asinC,sinA）＝eq\f(2sin105°，sin45°）＝eq\f（2sin75°，sin45°)＝eq\f（2×\f（\r(6)＋\r（2),4)，\f(\r(2)，2）)＝eq\r（3)＋1.

(2）据正弦定理,得sinA＝eq\f（asinB，b）＝eq\f(\r（3）sin120°，1)＝eq\f（3，2)1。

∴A不存在,即三角形无解．

（3）由lgsinB＝lgeq\f（\r(2)，2)，得sinB＝eq\f(\r（2）,2）。又B为锐角,

∴B＝45°。

又由lga－lgc＝lgeq\f(\r(2）,2)，得eq\f（a，c）＝eq\f(\r(2)，2)。

根据正弦定理,得eq\f(sinA，sinC）＝eq\f(\r（2),2）,

∴eq\r(2)sinC＝2sinA＝2sin（135°－C)，即sinC＝sinC＋cosC.

∴cosC＝0.∴C＝90°。因此△ABC为等腰直角三角形．

2．余弦定理及其推论的作用

（1）已知三角形的两边及其夹角，求其他的边和角．

(2)已知三角形的三边,求三个角．

(3）边化角，角化边．

练习：

(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝2eq\r(2),C＝15°，求角A；

(2）在△ABC中，已知a：b:c＝2:eq\r(3)：eq\r(5）,求△ABC中各内角的余弦值．

［解析](1)由余弦定理，得

c2＝a2＋b2－2abcosC

＝22＋（2eq\r（2))2－2×2×2eq\r（2)cos15°

＝4＋8－8eq\r（2）×eq\f（\r（6）＋\r(2)，4）＝8－4eq\r(3），

因此c＝eq\r(6）－eq\r(2)。

又∵eq\f（a,sinA）＝eq\f（c,sinC）,

∴sinA＝eq\f(asinC,c）＝eq\f(2sin15°,\r（6）－\r(2)）＝eq\f（2×\f（\r（6）－\r(2)，4）,\r(6）－\r(2））＝eq\f(1，2)。

∵b〉a，∴BA.又∵0°〈A〈180°，

∴A必为锐角，即A＝30°。

（2)令a＝2k,b＝eq\r(3)k，c＝eq\r（5)k(k0)，由余弦定理，得

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(3k2＋5k2－4k2,2×\r(3)k×\r(5）k）＝eq\f(4k2，2\r(15)k2)＝eq\f(2\r（15)，15）,

cosB＝eq\f(a2＋c2－b2，2ac）＝eq\f(4k2＋5k2－3k2，2×2k×\r（5)k）＝eq\f(6k2,4\r（5)k2）＝eq\f（3\r（5)，10)，

cosC＝eq\f（a2＋b2－c2,2ab）＝eq\f（4k2＋3k2－5k2，2×2k×\r（3）k)＝eq\f(2k2，4\r(3）k2）＝eq\f(\r(3),6）。

故cosA＝eq\f（2\r（15),15），cosB＝eq\f(3\r(5),10），cosC＝eq\f（\r(3)，6）。

3．三角形的面积公式

由正弦定理可得三角形的面积S＝eq\f（1,2)absinC_______＝eq\f(1,2)acsinB_______＝eq\f（1，2）bcsinA________。

练习:

已知△ABC中，AB＝eq\r（3)，AC＝1,且B＝30°，则△ABC的面积等于()

A。eq\f(\r（3)，2)B.eq\f(\r（3)，4)C.eq\f（\r（3）,2）或eq\r（3）