2024-2025学年试题数学三十二平面与平面平行的性质定理.docx

三十二平面与平面平行的性质定理

(时间:45分钟分值:90分)

【基础全面练】

1.(5分)已知平面α∥平面β,过平面α内的一条直线a的平面γ,与平面β相交,交线为直线b,则a,b的位置关系是()

A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定

【解析】选A.两平行平面α,β被第三个平面γ所截,则交线a,b平行.

2.(5分)平面α∥平面β,点A,C在平面α内,点B,D在平面β内,若AB=CD,则AB,CD的位置关系是()

A.平行 B.相交

C.异面 D.以上都有可能

【解析】选D.夹在两个平行平面间的平行线段相等,但夹在两个平行平面间的相等线段可以平行、相交或异面.

3.(5分)(多选)已知平面α∥平面β,直线m?α,直线n?β,下列结论中正确的是()

A.m∥β B.n∥α

C.m∥n D.m与n不相交

【解析】选ABD.由平面α∥平面β,直线m?α,直线n?β知:m∥β,故A正确;n∥α,故B正确;m,n平行或异面,一定不相交.故C错误,D正确.

4.(5分)(多选)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1,CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状可能是()

A.矩形 B.菱形

C.平行四边形 D.正方形

【解析】选ABC.若点E与点A1重合,则点F与点C重合,此时四边形D1EBF是矩形;若点E在AA1的中点处,则点F也在CC1的中点处,此时四边形D1EBF是菱形但不是正方形;其他情况下为普通的平行四边形.

5.(5分)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,点P在棱AD上,过点P作该正方体的截面,当截面平行于平面B1D1C且面积为3时,线段AP的长为()

A.2 B.1 C.3 D.3

【解析】选A.如图,连接A1D,A1B,BD,由正方体的结构特征,可得平面BDA1∥平面B1D1C.

过点P作该正方体的截面,分别交AB于点E,交AA1于点F,

因为截面PEF∥平面B1D1C,所以截面PEF∥平面BDA1,可得PE∥DB,EF∥A1B,PF∥A1D,

再由平行线截线段成比例,可得AP=AE=AF,△PEF为正三角形.设△PEF的边长为a,

则12a2·32=3,解得a=2,则AP=

6.(5分)如图,在多面体ABCDEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB=DE,DG=2EF,则()

A.BF∥平面ACGD

B.CF∥平面ABED

C.BC∥FG

D.平面ABED∥平面CGF

【解析】选A.如图所示,取DG的中点M,连接AM,FM,

则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形,所以DE∥FM,且DE=FM.

因为平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,所以AB∥DE,

所以AB∥FM.又因为AB=DE,所以AB=FM,所以四边形ABFM是平行四边形,所以BF∥AM.又因为BF?平面ACGD,AM?平面ACGD,所以BF∥平面ACGD.

7.(5分)六棱柱的两底面为α,β,且A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,AD∥BC,则AB与CD的位置关系是__________.?

【解析】因为AD∥BC,且平面ABCD∩α=AB,平面ABCD∩β=CD,又因为α∥β,所以AB∥CD.

答案:平行

8.(5分)如图,四边形ABCD所在的平面与平面α平行,且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形,则四边形ABCD的形状一定是__________.?

【解析】因为平面ABCD∥α,平面AA1B1B∩α=A1B1,平面AA1B1B∩平面ABCD=AB,所以AB∥A1B1,同理可证CD∥C1D1.又因为A1B1∥C1D1,所以AB∥CD.同理可证AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形.

答案:平行四边形

9.(5分)如图,四棱锥PABCD的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,ED与AF相交于点H,则GH=__________.?

【解析】因为四边形ABCD是平行四边形,

所以AB∥CD,AB=CD,

因为E,F分别是AB,CD的中点,

所以AE=FD,又因为∠EAH=∠DFH,∠AEH=∠FDH,所以△AEH≌△FDH,

所以EH=DH.

因为平面AGF∥平面PEC,平面PED∩平面AGF=GH,平面PED∩平面PEC=PE,所以GH∥PE,所以G是PD的中点,因为PA=PB=AB=2,所以PE=2×sin60°=3.所以GH=12PE=3

答案:3

10.(10分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N.

求证