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淮安三模数学试题及答案

选择题

1.若函数\(f(x)=(x^22x+1)^2\)的图像上一点\(P\)处的切线斜率为12，则点\(P\)的横坐标可能是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

填空题

2.已知函数\(g(x)=x^33x+1\)，若\(g(x)\)在区间\((2,+\infty)\)上单调递增，则实数\(a\)的取值范围是_________。

解答题

3.设等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，已知\(S_3=12\)，\(a_7=20\)，求该数列的通项公式。

4.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(ab0\)）的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且经过点\(P(2,\sqrt{3})\)，求椭圆方程。

5.（本小题满分14分）在直角坐标系\(xOy\)中，已知点\(A(1,0)\)，\(B(0,1)\)，\(P\)是直线\(xy+2=0\)上任意一点，\(PQ\perpAB\)于点\(Q\)。

（1）求点\(P\)的坐标；

（2）若\(O\)为坐标原点，求\(\triangleOPQ\)的面积的最大值。

答案及解析

选择题

1.解析：首先对\(f(x)\)求导，\(f(x)=2(x1)(2x1)\)。令\(f(x)=12\)，解得\(x=3\)或\(x=1\)。因为\(1\)不在选项中，所以选择C.

答案：C

填空题

2.解析：对\(g(x)\)求导，\(g(x)=3x^23\)。令\(g(x)\geq0\)，解得\(x\leq1\)或\(x\geq1\)。由于\(g(x)\)在区间\((2,+\infty)\)上单调递增，所以\(a\)的取值范围是\(a\geq1\)。

答案：\(a\geq1\)

解答题

3.解析：由\(S_3=12\)，\(a_7=20\)可得方程组：

\[

\begin{cases}

3a_1+\frac{3\cdot2}{2}d=12\\

a_1+6d=20

\end{cases}

\]

解得\(a_1=4\)，\(d=3\)。因此通项公式为\(a_n=4+3(n1)=3n+1\)。

答案：\(a_n=3n+1\)

4.解析：由离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，得到\(c^2=3a^2b^2\)。将点\(P(2,\sqrt{3})\)代入椭圆方程得到\(\frac{4}{a^2}+\frac{3}{b^2}=1\)。联立方程解得\(a^2=4\)，\(b^2=1\)。所以椭圆方程为\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)。

答案：\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)

5.解析：

（1）直线\(AB\)的斜率为\(1\)，所以\(AB\)的方程为\(y=x1\)。联立\(AB\)和\(PQ\)的方程，解得\(P(1,1)\)。

（2）由\(P(1,1)\)和\(AB\)的方程，得到\(Q(\frac{1}{2},\frac{3}{2})\)。则\(PQ=\sqrt{2}\)，\(OQ=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)。三角形面积\(S=\frac{1}{2}\timesPQ\timesOQ\)最大值为\(\frac{3\sqrt{2}}{4}\)。

答案：（1）\(P(1,1)\)；（2）最大值为\(\frac{3\sqrt{2}}{4}\)。