解三角形大题题型专练（基础篇）（解析版）_1.docx

解三角形大题专练（基础篇）（解析版）

（新高考地区专用）

（此练习分为3组，每组45分钟）

第一组：（三角形周长问题、高的问题、角分线问题、中线问题、范围问题）

1．（24-25高三下·北京大学附属中学阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，．

(1)求；

(2)若的面积为，且，求的周长．

【答案】(1)；(2)

【详解】（1）解法1：因为，由正弦定理得，

即，

因为，则，故；

解法2：因为，由余弦定理得，

整理得，可得，

由余弦定理可得.

（2）因为，且，则，

，所以，

因为由余弦定理得，

于是，

因为，则，所以，

因此，于是的周长.

2．（2025·广东汕头·一模）已知向量，，，且角A、B、C分别为三边a、b、c的对角．

(1)求角C的大小；

(2)若、、成等比数列，且，求边c上的高h．

【答案】(1)；(2)

【详解】（1）依题意，，

即，所以，

由知，，从而，故；

（2）依题意，，

由正弦定理得：，即

又，则，所以，从而，

由三角形面积公式得：，即

故．

3．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）在中，角所对的边分别为，满足.

(1)求角的大小；

(2)若的面积为，的平分线交于点，且1，求的值.

【答案】(1)；(2)当时，；当时，.

【详解】（1）由正弦定理知，，

因为

所以，

又，

所以，

因为，，故，，

所以，故，

所以.

（2）因为，

即，

所以，

解得或，

当时，；

当时，.

4．（2025·广东佛山·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.

(1)求A；

(2)若BC边上的中线，且，求的周长.

【答案】(1)；(2)

【详解】（1）因为，

由正弦定理得，

所以，即，

在中，由余弦定理得，

又因为，所.

（2）在中，因为，

所以，又因为BC边上的中线，

所以，则，

即，即，

所以，即，

所以，

由（1）知，则，

所以的周长为.

5．（24-25高三下·河南·阶段练习）在锐角三角形中，角、、对应的边分别为、、，已知.

(1)求；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)；(2)

【详解】（1）因为，由正弦定理可得，

因为为锐角三角形，则，，

所以，，即，所以，.

（2）因为为锐角三角形，可得，解得，

则，

因为，则,所以，可得，

即，所以的取值范围为.

第二组：（三角形面积的最值问题、周长的最值问题、高的问题、正弦定理和余弦定理的应用、多三角形问题）

1．（2025·陕西汉中·二模）在中，，，分别是角的对边，已知.

(1)若，求实数的值；

(2)若，求面积的最大值.

【答案】(1)；(2).

【详解】（1）由，且，得，

可变形为.

依据余弦定理，可知，即.

所以.

（2）因为，

根据余弦定理得，????

所以，即，当且仅当时等式成立，

故，当且仅当等号成立，

即所求面积的最大值是.

2．（2025·河北保定·模拟预测）记的内角的对边分别为，且.

(1)求的值；

(2)若，求的值；

(3)求周长的最大值.

【答案】(1)；(2)；(3)3

【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，所以，又，所以，

因为，所以.

（2）若，则，故.

（3）因为，由余弦定理得，

化简得，即，

当且仅当时等号成立，

故周长的最大值为3.

3．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.

(1)若的面积，求角A；

(2)若，的面积，求的外接圆的面积.

【答案】(1)；(2)

【详解】（1）由余弦定理得，

∴，∴.

又，

∵，∴.

（2）设边上的高为，

如图：

由（1）知，则，

∴，，

，解得，

∴，∴，

由，得，

设的外接圆半径为R，

则，得，故的外接圆的面积为.

4．（2025高三·全国·专题练习）在中，为边上一点，已知，，．

(1)若，求的值；

(2)若，求边的长．

【答案】(1)；(2)

【详解】（1）设，则，因为，所以，即，

所以，

??

在中，由余弦定理，

所以，

再由正弦定理，所以．

（2）在中，由正弦定理，即，同理，

因为，所以，即，

化解得，于是，

即，即，

因为，所以，，

从而，，

再由正弦定理，得，

所以，，故．

5．（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知的内角，，的对边分别是，，，已知．

(1)求角;

(2)若为外一点，在四边形中，边长，求边的最小值．

【答案】(1)；(2)

【详解】（1）因为，

由余弦定理，

所以，即，

由正弦定理可得，

即，所以，

又，所以，所以，即，

又，所以；

（2）在和中，由正弦定理可得，，

设，，则，，，

故两式相除可得，

即，

因此，

故当时，即时，此时取最大值1，故取最小值.

第三组：（三角形内切圆问题、角分线问题、多三角形问题、范围问题、中线问题）

1．（24-25高三下·河北张家口·开学考试）已知中，角