微专题05 平面向量在几何与物理中的应用11种常考题型总结（解析版）_1.docx

微专题05平面向量在几何与物理中的应用11种常考题型总结

题型1用向量证明平行问题

题型2用向量证明线段垂直

题型3用向量解决线段的长度问题

题型4用向量解决夹角问题

题型5判断几何图形的形状

题型6向量在几何中的其他应用

题型7向量与几何最值

题型8奔驰定理与三角形的四心

题型9力的合成

题型10速度、位移的合成

题型11功、动量的计算

1、向量在平面几何中的应用

（1）平面两个向量的数量积：；

（2）向量平行的判定:；

（3）向量平行与垂直的判定:；

（4）平面内两点间的距离公式：（其中，）

（5）求模：；；

（6）对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”).

2、用向量解决平面几何问题的步骤

①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；

②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题；

③把运算结果“翻译”成几何关系.

3、用向量证明平面几何问题的两种基本思路

(1)向量的线性运算法的四个步骤：

①选取基底；

②用基底表示相关向量；

③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；

④把计算所得结果转化为几何问题．

(2)向量的坐标运算法的四个步骤：

①建立适当的平面直角坐标系；

②把相关向量坐标化；

③用向量的坐标运算找到相应关系；

④利用向量关系回答几何问题．

4、奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则.

奔驰定理在三角形四心中的具体形式

是的重心

是的内心

是的外心

是的垂心

备注：奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．

5.向量在物理中的应用举例

向量的定义有着丰富的物理背景,物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量,力所做的功就是向量的数量积的物理背景,因此,向量可以解决一些物理问题归纳.

（1）力学问题的向量处理方法

①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象；

②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上.

（2）速度、位移问题的向量处理方法

速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成.

①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果.

②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解.

（3）功、动量问题的向量处理方法

物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量.

在解决问题时要注意数形结合

6.利用向量法解决物理问题的步骤

用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：

①问题转化，即把物理问题转化为数学问题.

②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.

③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.

④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.

题型1用向量证明平行问题

【例1】已知在四边形中，，求与分别满足什么条件时，四边形满足下列情况.

(1)四边形是等腰梯形；

(2)四边形是平行四边形.

【答案】(1)，且与不平行；

(2)（或）.

【分析】（1）根据向量共线的定义和梯形的判定条件可得结论；

（2）根据向量共线的定义和平行四边形的判定条件可得答案.

【详解】（1）解：，且与不平行.

因为，所以四边形ABCD为梯形或平行四边形.

若四边形ABCD为等腰梯形，则，同时两向量不平行.

（2）解：（或）.

若，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD为平行四边形.

【变式1】证明：三角形两边中点所连线段平行于第三边且其长度等于第三边长度的一半.

【答案】证明见解析

【分析】转化题目为在中，、分别为边、的中点，即证：，且，进而利用向量的线性运算性质证明即可.

【详解】如图，在中，、分别为边、的中点，

即证：，且.

证明：因为、分别为边、的中点，

所以，，

所以，

又不在上，

所以，且.

所以三角形两边中点所连线段平行于第三边且其长度等于第三边长度的一半.

??

【变式2】如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形