重难点11 轻松搞定立体几何的轨迹问题 （三大题型）（解析版）.docx

重难点专题11轻松搞定立体几何的轨迹问题

【题型归纳目录】

题型一：轨迹图形

题型二：轨迹长度

题型三：轨迹面积

【典型例题】

题型一：轨迹图形

【例1】（2024·浙江温州·一模）如图，所有棱长都为1的正三棱柱，，点是侧棱上的动点，且，为线段上的动点，直线平面，则点的轨迹为（????）

??

A．三角形（含内部） B．矩形（含内部）

C．圆柱面的一部分 D．球面的一部分

【答案】A

【解析】如下图所示：

首先保持在线段上不动，假设与重合

根据题意可知当点在侧棱上运动时，若点在点处时，为的中点，

此时由可得满足，

当点运动到图中位置时，易知，取，可得，

取棱上的点，满足，根据三角形相似可得三点共线，

当点在侧棱上从点运动到点时，点轨迹即为线段；

再研究当点在线段上运动，

当点在线段上从点运动到点时，点的轨迹是线段，

当点在线段上从点运动到点时，点的轨迹是线段，

因此可得，当点是侧棱上运动时，在线段上运动时，点的轨迹为及其内部的所有点的集合；

即可得的轨迹为三角形（含内部）.

故选：A

【变式1-1】（2024·高二·湖北黄冈·期末）如图所示，为正三角形，四边形为正方形，平面平面.为平面内的一动点，且满足，则点在正方形内的轨迹为（为正方形的中心）

????

A．?? B．?? C．?? D．??

【答案】A

【解析】在空间中，过线段PC中点，且垂直线段PC的平面上的点到P，C两点的距离相等，此平面与平面ABCD相交，两平面有一条公共直线．

在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P，C两点的距离相等，记此平面为α，平面α与平面ABCD有一个公共点D，则它们有且只有一条过该点的公共直线．取特殊点B，可排除选项B，故选A．

考点：轨迹方程．

【例2】（2024·高一·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，是的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持．则动点的轨迹与△组成的相关图形最有可有是图中的()

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

如图：连BD交AC与o,F、G分别是SC、CD中点；易证

；所以P在FG上．故选A

题型二：轨迹长度

【例3】（2025·高二·重庆黔江·阶段练习）已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】取的中点，连接、、，如图所示：

由分别是棱的中点，得，平面，平面，则平面，

又且，于是为平行四边形，则，

平面，平面，则平面，又，平面，

因此平面平面，由与平面无公共点，平面，则平面，

又点为底面内（包括边界）的一动点，平面平面，

于是是点在底面内的轨迹，

又正方体的棱长为，则，

所以点的轨迹长度为.

故选：B

【变式3-1】（2025·高一·贵州黔西·期末）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中错误的是（????）

A．平面截正方体所得截面为等腰梯形

B．若∥平面，则直线CQ不可能垂直于直线

C．若，则点Q的轨迹长度为

D．三棱锥的外接球的半径为

【答案】B

【解析】对于A，取的中点为,连接,

则，而，即四边形为平行四边形，

故，所以，且，

则四边形为平面截正方体的截面，为梯形，

而，,

即，即四边形为等腰梯形，A正确；

对于B，连接交为Q，则，即，

而，平面，平面，

故∥平面，即当∥平面时，直线可能垂直于直线，B错误；

对于C，因为平面，平面，

故，由得，

即点的轨迹为以为圆心，半径为的四分之一圆，

其轨迹长度为，C正确；

对于D，三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，

设三棱锥的外接球半径为R，的外接圆半径为r，

,

故，则，

故，

因为平面，故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上，

则，即，

故三棱锥的外接球的半径为，D正确，

故选：B.

【变式3-2】（2025·高二·四川乐山·期末）已知正方体棱长为1，点是正方体表面上一个动点，满足，则点的轨迹长度为（???）

A．2 B． C．4 D．

【答案】D

【解析】由题意可知，动点的轨迹为过点与直线垂直的截面与正方体的表面的交线.

如图所示：

在正方体中，，

又平面且，所以平面，

因为平面，所以.

又在正方体中，，

又平面且，所以平面，

因为平面，所以.

又因为，由平面且，

所以平面.

于是点P的轨迹长度为不包含点的的周长，

即周长等于.

故选：D.

【变式3-3】（多选题）（2025·高一·辽宁·期末）如图，已知正三棱台由一个平面截棱长为6的正四面体所得，分别是的中点，P是棱台的侧面上的动点（包含边界），则下列结论中正确的是（????）

A．该三棱台的体积为

B．平面平面

C．直线与平面所成角的正切值的最小值为

D．若