重难点专题14 利用传统方法解决二面角问题（五大题型）（解析版）.docx

重难点专题14利用传统方法解决二面角问题

【题型归纳目录】

题型一：定义法

题型二：三垂线法

题型三：垂面法

题型四：射影面积法

题型五：补棱法

【方法技巧与总结】

二面角的求法

法一：定义法

在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．

法二：三垂线法

在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：

①找点做面的垂线；即过点，作于；

②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；

③计算：为二面角的平面角，在中解三角形．

图1图2图3

法三：射影面积法

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；

法四：补棱法

当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．

法五：垂面法

由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．

【典型例题】

题型一：定义法

【例1】（2025·高一·浙江金华·期中）如图，在三棱锥中，，D为的中点，平面，垂足O落在线段上.

(1)证明：；

(2)已知，，，且直线与平面所成角的正弦值为.

①求此三棱锥的体积；

②求二面角的大小.

【解析】（1）因为，为的中点，所以，

又平面，则，

又平面，所以平面，

又平面，所以；

（2）①由平面，则直线与平面所成角为，

则，由，为的中点，

所以，则，所以，

由平面，所以，所以；

②在平面内作于，连接，由，

又，平面，所以平面，

所以，则为二面角的平面角，

在直角三角形中，，

在直角三角形中，，

在直角三角形中，，所以，

在直角三角形中，，所以，

所以在三角形中，，

所以，则，同理，

而，所以，

即二面角的大小为.

【变式1-1】（2025·高一·全国·课后作业）如图，已知四边形是正方形，平面．若，求平面与平面所成的二面角的大小．

【解析】因为，不在平面内，平面，平面，

平面，平面平面，，

因为平面，平面，所以，，平面，

所以平面，，，平面，平面，

为平面和平面所成二面角的平面角，

因为平面，平面，所以，，

所以．

【变式1-2】（2025·高一·全国·课后作业）如图，已知四边形是正方形，平面．求：

(1)二面角平面角的度数；

(2)二面角平面角的度数．

【解析】（1）平面，面，

，，

为二面角的平面角．

四边形是正方形，，

二面角平面角的度数为90°．

（2）平面，面，

，．

为二面角的平面角．

四边形为正方形，．

即二面角平面角的度数为45°．

【变式1-3】（2025·高一·安徽马鞍山·期末）如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，C是的中点.

(1)证明：平面平面；

(2)若，求二面角的余弦值.

【解析】（1）证明：因为是一条母线，所以平面，而平面，则，

因为是底面一条直径，C是的中点，所以，即，

又平面且，

所以平面，而平面，则平面平面.

（2）设，则，.

取的中点，则，，

作，垂足于，则，即，

进而，所以.

因为分别是的中点，连接，

所以，又，.

由，可知，是二面角的平面角.

所以.

故二面角的余弦值为.

题型二：三垂线法

【例2】（2025·高一·云南昭通·阶段练习）已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）．

(1)证明：平面ABE；

(2)当时，求二面角的余弦值．

【解析】（1）证明：在直角梯形ABCD中，因为，故，，

因为，故．

所以在折叠后的几何体中，有，，

而，平面，

故平面ABE．

（2）如图，在平面AEFD中，过D作且交EF于G．

在平面DBF中，过D作且交BF于H，连接GH．

因为平面平面EBCF，平面平面，平面AEFD，

故平面EBCF，

因为平面EBCF，故，而，故平面DGH，

又平面DGH，故，所以为二面角的平面角，

在平面AEFD中，因为，，故，

又在直角梯形ABCD中，且，

故，故四边形AEGD为平行四边形，故，，

在直角中，，

因为为三角形内角，所以为锐角，

，，解得，

故，故，

因为三角形内角，故为锐角，

，，解得，

所以二面角的平面角的余弦值为．

【变式2-1】（2025·高三·广东惠州