河北省秦皇岛市2025届高三第一次模拟数学试题及答案.docx

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2025年河北省秦皇岛市高三毕业班第一次模拟考试

数学

本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.某篮球兴趣小组名学生参加投篮比赛，每人投个，投中的个数分别为：、、、、、、，则这组数据的众数和中位数分别为（）

A.、 B.、 C.、 D.、

【答案】D

【解析】

【分析】将数据由小到大进行排列，利用众数和中位数的定义可求得结果.

【详解】将数据由小到大进行排列为：、、、、、、，

因此，这组数据的众数为，中位数为.

故选：D.

2.二次函数的图像为抛物线，其准线方程为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】将，化为抛物线的标准方程,分类讨论即可.

【详解】将，化为抛物线的标准方程，

当时，，得到，由抛物线的准线方程为；

当时，，得到，由抛物线的准线方程为；

综上：其准线方程.

故选：C.

3.设等差数列的前项和，若，，则（）

A.18 B.27 C.45 D.63

【答案】C

【解析】

【分析】根据成等差数列，得到方程，求出答案.

【详解】由题意得成等差数列，

即成等差数列，

即，解得.

故选：C

4.某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（）

A.30 B.60 C.120 D.180

【答案】B

【解析】

【分析】根据分步乘法计数原理结合捆绑法分析求解.

【详解】先从5人中选出4人值班，

再从4人中选出2人值第三天，剩余2人分别值第一、二天，

所以安排方法数为.

故选：B.

5.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由条件可得是以为顶角的等腰三角形，列出关于的方程，再由离心率的计算公式，即可得到结果.

【详解】由题可知，，即，是以为顶角的等腰三角形，

则有：，，，

所以，又因为，即，，

可得：，解得，故离心率为．

故选：B．

6.在等边中，已知点，满足，，与交于点，则在上的投影向量为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先利用平面向量基本定理的推理，以向量为基底表示向量，再根据投影向量公式，即可求解.

【详解】如图，，

，

则，得，，

即,

则在上的投影向量为，

，

所以在上的投影向量为.

故选：C

7.函数，若，则的最小值为（）

A. B.4 C. D.1

【答案】C

【解析】

【分析】利用导数判断函数在为增函数，计算求得，从而得到，由基本不等式即可求得答案.

【详解】因为的定义域为，

，所以在为增函数，

，所以，

又，在为增函数，所以，即，

因为，，当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为.

故选：C

8.正三棱柱中，，，O为的中点，M为棱上的动点，N为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段的表达式，利用函数求最值即可.

【详解】因为正三棱柱中，为的中点，

取中点，连接，如图，

以为原点，，，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

因为是棱上一动点，设，且，

因为，所以，

于是令，.

所以，.

又因为函数在上为增函数，

所以当时，

即线段长度的最小值为

当时，，

即线段长度的最大值为，

所以线段长度的取值范围为.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9.已知复数满足，则（）

A.的实部为

B.的虚部为

C.满足：复数对应的点所在区域的面积为

D.对应的向量与轴正方向所在向量夹角的正切值为

【答案】AC

【解析】

【分析】化简可得，进