河南省安阳市2025届高三第一次模拟考试数学试题.docx

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2025届高三年级第一次模拟考试

数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A B. C. D.

2.若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（）

A. B. C. D.

3.已知平行四边形的对角线的交点为，则（）

A. B. C. D.

4.甲、乙两人玩迷宫游戏，已知迷宫的入口编号为1，出口编号分别为2，3，4，5，6，7，两人从入口进入后，他们离开的出口编号之和为8的概率为（）

A. B. C. D.

5.已知双曲线左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（）

A.1 B.2 C.4 D.6

6.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（）

A. B. C. D.

7.已知数列的前项和为，且，若，，则（）

A.3 B.6 C.1015 D.2030

8.已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“间距函数”，则下列函数是“间距函数”的有（）

A.， B.，

C.， D.，

10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是（）

A.若，则的面积为2

B.若，则直线被圆截得的弦长为

C.若为等腰三角形，则满足条件的点有2个

D.若为与轴正半轴的交点，为圆的直径（在第一象限），的中点为，（表示斜率），则点的横坐标为

11.已知直三棱柱的底面为等腰直角三角形，，则下列说法正确的是（）

A.三棱柱的体积为4

B.以为球心，体积为的球面与侧面的交线的长度为

C.若，分别为，中点，点在平面上，则的最小值为

D.若空间中的一点满足，则的最小值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知正项等比数列满足，且，则公比为______________.

13.某学校统计了所有在职教师（只有一级教师和高级教师）的工资情况，其中一级教师80人，平均工资为4.5千元，方差为0.04，高级教师20人，平均工资为6.5千元，方差为0.44，则该校所有在职教师工资的方差为______________.

14.已知函数满足，则实数____________，设为的导函数，则不等式的解集为____________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且.

（1）求；

（2）若，点到直线的距离为，求的周长.

16.如图，已知正方体的棱长为2，是棱上靠近的四等分点.

（1）求点到平面距离；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

17.随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表：

性别

日均刷“抖音”时间超过2小时

日均刷“抖音”时间不超过2小时

男性

48

72

女性

24

56

（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？

（2）现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率.

参考公式：，其中.

参考数据：

0.1

0.05

0.01

0.005

0.001

2706

3.841

6.635

7.879

10.828

18.已知函数.

（1）求的极值；

（2）若当时，，求实数的取值范围；

（3）设实数，满足，证明：.

19.设，是抛物线上除顶点以外的两点