平面向量基本定理及坐标表示（学生版）.docx

6.3平面向量基本定理及坐标表示

模块一：平面向量基本定理

一、知识点回顾

1．平面向量基本定理

如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

注：①基底：同一平面内的不共线两个向量，可作为一组基底.

②可将任一向量a在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示.

2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路

①选择一组基底；

②运用该基底将条件和结论表示成向量的形式；

③通过向量的运算来解决.

注：同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.

题型归纳

【题型1基底的概念】

【例题1】设是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（????）

A．和 B．与

C．与 D．与

【变式11】（多选）设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（????）

A．， B．，

C．， D．，

【变式12】（多选）若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（????）

A． B．

C． D．

【题型2用基底表示向量】

【例题2】如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（????）

A． B． C． D．

【变式21】如图，在中，，点是的中点.设，则（????）

??

A． B．

C． D．

【变式22】如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（????）

??

A． B．

C． D．

【题型3三点共线求参数问题】

【例题3.1】如图在△ABC，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（????）

A． B． C． D．

【变式3.11】在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为（????）

A． B． C． D．

【变式3.12】如图，中，点M是BC的中点，点N满足，AM与CN交于点D，，则（????）

A． B． C． D．

【变式3.13】如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一个三等分点，且，若，则（????）

A．1 B． C． D．

*【例题3.2】如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB?AC两边交于M?N两点（M?N与B?C不重合），设，，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

*【变式3.21】已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（）

A．1 B． C．2 D．

*【变式3.22】在中，点是边上一点，若，则的最小值为（????）

A． B． C． D．7

*【变式3.23】已知，分别是的边，上的点，且满足，．为直线与直线的交点．若（，为实数），则的值为（????）

A．1 B． C． D．

**【例题3.3】如图，平行四边形中，，为线段的中点，为线段上的点且.

（1）若，求的值；

（2）延长、交于点，在线段上（包含端点），若，求的取值范围.

**【变式3.31】如图，在梯形中，，、是的两个三等分点，，是的两个三等分点，线段上一动点满足.分别交、于，两点，记，.

??

(1)当时，用，表示；

(2)若，求的最大值.

**【变式3.32】如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点．

(1)用和表示；

(2)设，求的取值范围．

模块一：平面向量的坐标表示

一、知识点回顾

1．平面向量的正交分解及坐标表示

(1)正交分解

不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

(2)向量的坐标表示

如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基

底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作.其中x叫做a在x轴上的坐标（横），y叫做a在y轴上的坐标（纵），（x,y）叫做向量a的坐标表示.

显然，，，.

(3)点的坐标与向量的坐标的关系

区别

表示形

式不同

向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号.

意义

不同

点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.

另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y).

联系

向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.

2．平面向量线性运算的坐标表示

(1)两个向量和（差）的坐标表示

由于向量，等价于