2025高中数学 导数解答题梳理（共20个题型）含解析.docx

导数题型梳理

一．题型梳理

题型1：不含参函数单调性

题型2：含参函数单调性

题型3：根据单调性求解参数范围

题型4：切线与公切线问题

题型5：切线条数问题

题型6：三次函数问题

题型7：函数零点问题小题

题型8：复合函数零点问题

题型9：等高线问题，

题型10：共零点问题

题型11：整数解问题

题型12：导数与不等式比较大小问题

题型13：导数构造问题

题型:14：函数零点问题

题型15：隐零点问题

题型16：极值点偏移

题型17：导数与数列问题

题型18：恒成立有解问题

题型19：凹凸反转

题型20：端点效应

二．知识点回顾

一．导数与函数单调性

导数是研究函数单调性的重要工具。一般的，在区间D上，f(x)0,则函数f(x)在区间D上单调递增；在区间D上，f(x)0,则函数

二．求解不含参函数的单调性的核心思想与步骤

①核心

函数的单调性由导函数的正负来决定，这是一个核心思想，所以我们需要想方设法找到导函数的正负区间，而导函数的正负区间有一个“临界点”，就是导函数的变号零点，找到导函数的变号零点，再结合导函数的图像就能找到导函数的正负区间，也就是函数的单调区间。通过做题我们或许有一个疑问，为什么有的题目进行了二次求导，三次求导，多次求导呢，什么时候需要多次求导？导到多少阶才行呢？这里我们需要有一个意识：函数求导以后也就是导函数，我们首先观察正负，如果正负确定，就能往回推原函数的单调；如果不确定，那么我们退而求其次观察其单调性，此时往往结合我们高一所学的单调性的性质可以看出，如果可以确定单调性，再结合特殊值或者图像，一般能确定正负；如果确定不了单调性，那么就需要往下再次求导，这里往往可以扔掉一些正负确定的分子、分母或者因式，通过构建新的函数，再次求导。简而言之，在每一阶导函数，正负是最优先级，然后是单调性和特殊值，如果都确定不了就需要再次求导。

这里的思想在题型1以及题型14里面有淋漓尽致的体现，特别是题型14，对于零点的讨论，是高考考查的重点。

②单调性的步骤

（1）确定定义域

（2）求导并化简出现分式，可以通分

（3）确定导函数的零点若导函数无零点，则导函数恒正或者恒负

（4）确定导函数的正负特殊值

（5）综上所述

三．讨论含参函数单调性

含参函数为什么要讨论？在什么地方讨论？讨论哪些方面？都是平时做题过程中会碰到的问题。因为草稿上画不出草图，所以需要讨论，画草图需要确定什么？以导函数是二次函数举例，需要确定①参数是否影响函数类型（参数在二次项上时），参数为0，导函数就不是二次函数；②是否有零点；③零点是否在定义域内；④多个零点的大小关系（注意两个零点相同的情况）

四．三次函数fx

①单调性：三次函数fx=ax3+b

若?=4b

②零点：若?=4b2-12a?c0，不妨设fx=3ax2+2bx+c

若f(x1)?f(

若fx

若?=4b

③切线问题

若点位于（1）、（3）区域，则过点可以作3条三次函数的切线；

若点位于（2）、（4）区域，则过点可以作1条三次函数的切线；

若点位于三次函数的对称中心，则过点可以作1条三次函数的切线；

若点位于三次函数上（非对称中心），则过点可以作2条三次函数的切线。

五．常见不等式汇总

（1）x-1时，ln(x+1)

（2）x≥0时，x-1

（3）x0时，lnx

（4）x0时，1-1

（5）x0时，lnx

（6）0x1时，lnx12(x-1x

（7）x≥0时，ex

（8）ex

（9）0≤x2时，ex≤2+x2-x;x0

（10）x≥0

（11）x≥0

（12）0≤xπ2时，

（13）对数均值不等式：设x2

三．题型精讲精练

题型1：不含参函数单调性

例1-1.【2024·广东佛山·二模】已知fx

(1)当a=3时，求fx

例1-2.【2024·山东·二模】已知函数．

(1)当a=1e时，求

例1-3.【23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习】已知函数fx=xln

(1)当a=1时，求fx

例1-4.【2024·重庆二诊】已知函数fx

(1)求fx

练1-1.【2024·全国·模拟预测】已知函数f(x)=ax(a0,a

(1)当a=e时，讨论函数h(x)=f(x)g(x)

练1-2.【23-24高三·吉林长春·阶段练习】已知函数fx=(x+a)lnx

(1)求a,b；

(2)求fx

练1-3.【2024·辽宁·模拟预测】已知函数．

(1)当a=e24时，判断f

练1-4.【2024·广西柳州·三模】已知函数fx

(1)求函数fx在点1,f

(2)求函数fx

题型2：含参函数单调性

例2-1【24-25高三上·全国阶段练习】.f(x)=(1-a)lnx-x+

例2-2.【24-25高三上·广东湛江·期末】已知函数fx

(1)当a=3时，求曲线y=fx在点1,f

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