2025高中数学 圆锥曲线解答题梳理（共9个题型）含解析.docx

圆锥曲线解答题

一．题型梳理

题型1：距离以及弦长问题

题型2：面积问题

题型3：非对称韦达定理

题型4：定点问题

题型5：定值问题

题型6：定线问题

题型7：与向量结合问题

题型8：抛物线解题技巧梳理

题型9：轨迹问题

二．知识点回顾

1.劣构性问题（非对称式）的处理方式

圆锥曲线中经常会碰到劣构性问题，也就是非对称式子，我们一般有三种方法处理，分别是“和的配凑”、“和积转换”、“利用圆锥曲线方程转换”，这个例题在例3-1，当然在特定的题目中我们还可以随机应变，“由题目进行转换”，这个例题在例6-3；

2.距离以及弦长公式

若平面中有两点Ax1，y1，

AB=

AB=

AB=

以上三个公式均可求解平面中任意两点的距离，一般来说对于非弦长的距离问题我们一般使用后两个公式居多;

若直线l:y=kx+m交圆锥曲线M于Ax1，

AB=

AB=

上述公式又可以通过韦达定理进一步转化成

AB=

AB=

其中联立l:y=kx+m与圆锥曲线M得到关于x的一元二次方程为Ax2

?=B

联立l:y=kx+m与圆锥曲线M得到关于y的一元二次方程为Ay

?

3.面积

（1）S?ABC=12底

（2）S?ABC=1

（3）割补法：转化为更易计算的图形面积的和或差,比如铅锤高，水平宽，这是非常重要的求解面积的方法；

（4）S?=12x1?y

4.定点问题处理方法：一般处理定点问题有两种处理方法：

（1）直接设出直线y=kx+t或者x=my+n。若设y=kx+t

（2）求点法：设出其他直线，写出我们要求的直线的点，一般通过点斜式求出方程，再求出直线过定点

5.动点的轨迹问题

大体上分为几何法以及代数法，几何法以及代数法又各有直译法、定义法、相关点法以及参数法。

(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；

(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；

(3)相关点法：用动点Q的坐标x、y表示相关点P的坐标x0、y0，然后再利用点P的轨迹求出x、y之间的关系；

(4)参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数m得到方程，再消掉参数即得到x、y之间的关系。

三．题型精讲精练

题型1：距离以及弦长问题

例1-1【2025·高三·全国·专题练习】已知双曲线E:x2a2-

(1)求双曲线E的离心率；

(2)设直线y=12x-12与双曲线E交于点P

例1-2【2025·重庆市南开中学第四次联考】已知椭圆C:x2a2+y2

面积为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点B-3,0的直线l与椭圆C交于P,Q两点,若1BP

例1-3【2024·四川·一模】已知直线l:y=kx+2(k≠0)与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)在第一象限交于A，B两点，E为线段

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若直线l与x轴，y轴分别相交于M，N两点，且|MA|=|NB|，|AB|=6，求椭圆C的方程

例1-4【2024·湖北·二模】如图，O为坐标原点，F为抛物线y2=2x的焦点，过F的直线交抛物线于A,B两点，直线AO交抛物线的准线于点D，设抛物线在B点处的切线为

??

(1)若直线l与y轴的交点为E，求证：DE=

(2)过点B作l的垂线与直线AO交于点G，求证：|AD|

练1-1【2025高三·全国·专题练习】已知椭圆的一个顶点为A-2,0，离心率为，直线y=x-1与椭圆C

(1)求椭圆C的方程；

(2)求弦长MN

练1-2【2024·重庆南开中学第三次联考】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0，其离心率e=

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点F1作直线l与C交于P,Q两点，点M是线段的中点，过点M作直线l的垂线交x轴于点N，若MN=65

练1-3【2023·广西南宁·模拟预测】已知双曲线C:x2a2-y2b

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点P1,1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB

练1-4【25重庆·一诊】已知抛物线C:y2=4x，过点F1,0的直线l与抛物线交于A、B两点，A在x轴上方，AM，BN均垂直于C的准线，垂足分别为

(1)当时，求直线l的方程；

(2)已知O为坐标原点，证明：．

题型2：面积问题

例2-1【25.重庆巴蜀中学第二次联考】已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为，是椭圆E的一个顶点.

（1）求椭圆E的方程;

（2）过的直线l交椭圆E于B，C两点，若△ABC的面积为，求直线l的方程

例2-2【25·重庆部分学校12月月考】古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆M的中心为坐标原点，焦点，均在x轴上，面积为2π，点1,32在椭圆M上.

（1）