高考备考资料之数学人教A版全国用讲义47解三角形的综合应用.docx

§4.7解三角形的综合应用

必威体育精装版考纲

考情考向分析

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性．题型主要为选择题和填空题，中档难度.

实际测量中的常见问题

求AB

图形

需要测量的元素

解法

求

竖

直

高

度

底部

可达

∠ACB＝α，BC＝a

解直角三角形

AB＝atanα

底部不可达

∠ACB＝α，

∠ADB＝β，

CD＝a

解两个直角三角形

AB＝eq\f(atanαtanβ,tanβ－tanα)

求

水

平

距

离

山两侧

∠ACB＝α，

AC＝b，

BC＝a

用余弦定理

AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα)

河两岸

∠ACB＝α，

∠ABC＝β，

CB＝a

用正弦定理AB＝eq\f(asinα,sin?α＋β?)

河对岸

∠ADC＝α，

∠BDC＝β，

∠BCD＝δ，

∠ACD＝γ，

CD＝a

在△ADC中，AC＝eq\f(asinα,sin?α＋γ?)；

在△BDC中，BC＝eq\f(asinβ,sin?β＋δ?)；

在△ABC中，应用

余弦定理求AB

知识拓展

实际问题中的常用术语

1．仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．

2．方向角

相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．

3．方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

4．坡度(又称坡比)

坡面的垂直高度与水平长度之比．

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)

(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(×)

(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(√)

(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(√)

题组二教材改编

2.[P11例1]如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.

答案50eq\r(2)

解析由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，

又∵B＝30°，

∴AB＝eq\f(ACsin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．

3．[P13例3]如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝______米．

答案eq\f(\r(2),2)a

解析由题图可得∠PAQ＝α＝30°，

∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，

又∠PBC＝γ＝60°，

∴∠BPA＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(90°－α))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(90°－γ))＝γ－α＝30°，

∴eq\f(a,sin30°)＝eq\f(PB,sin15°)，∴PB＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)a，

∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sinγ＋asinβ

＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)a×sin60°＋asin15°＝eq\f(\r(2),2)a.

题组三易错自纠

4．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC等于()

A．10° B．50°

C．120° D．130°

答案D

5.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.

答案eq\f(\r(3),2)a

解析由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝eq\r(3)a，所以在Rt△ADB中，AB＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(3),2)a.

6．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20k