2025版新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语5.2全称量词命题和存在量词命题的否定学案新人教A版必修第一册.docxVIP

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全称量词命题和存在量词命题的否定

课标解读

课标要求

素养要求

1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变更规律.

2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

1.数学抽象—能写出全称量词命题与存在量词命题的否定并推断真假.

2.数学运算—能依据全称量词命题与存在量词命题的否定求参数的取值范围.

自主学习·必备学问

教材研习

教材原句

要点一全称量词命题的否定

对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:

全称量词命题:?x∈M,p(x),,它的否定:①?x∈M

要点二存在量词命题的否定

对含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论:

存在量词命题:?x∈M,p(x),它的否定:③?x∈M

自主思索

1.命题“?x∈R

答案：提示?x∈R

2.命题“存在两个不全等的三角形,它们的面积相等”的否定是什么?

答案：提示随意两个不全等的三角形,它们的面积不相等.

名师点睛

1.一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题.

2.含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,变更量词的属性,即全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.

互动探究·关键实力

探究点一全称量词命题的否定

精讲精练

例写出下列命题的否定,并判定其真假．

（1）全部分数都是有理数;

（2）全部能被5整除的整数都是奇数;

（3）p:?x∈

答案：（1）存在一个分数不是有理数.假命题．

（2）存在一个能被5整除的整数不是奇数.真命题.

（3）?p:?x∈N

解题感悟

1.对全称量词命题进行否定时要做到“两变”：一变量词,即把全称量词变为存在量词;二变结论,即否定结论.

2.对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后再进行否定

迁移应用

1.（2024天津第三中学高一期末）命题“?x＞0,x

A.?x＞0,x2

C.?x≤0,x2

答案：A

2.（2024福建厦门一中高一月考）命题“?x∈R

答案：?x∈

解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题,得命题“?x∈R,x

探究点二存在量词命题的否定

精讲精练

例写出下列存在量词命题的否定,并推断其真假.

（1）p：?x＞1,使x

（2）p：有些素数是奇数;

（3）p：有些平行四边形不是矩形.

答案：（1）?p：?x＞1,x2-2x-3≠0

（2）?p：全部的素数都不是奇数.?p为假命题.

（3）?p：全部的平行四边形都是矩形.?p为假命题.

解题感悟

1.对存在量词命题进行否定时,首先把存在量词改为全称量词,然后对推断词进行否定,可以结合命题的实际意义进行表述.

2.存在量词命题的否定是全称量词命题,对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后再进行否定.

迁移应用

1.（2024湖南永州高一期末）命题“存在实数x,使x＞1”的否定是()

A.对随意实数x,都有x＞1

B.不存在实数x,使x≤1

C.对随意实数x,都有x≤1

D.存在实数x,使x≤1

答案：C

2.写出下列存在量词命题的否定,并推断其真假.

（1）有些三角形是锐角三角形;

（2）?x,y∈Z,使得2

答案：（1）命题的否定：“全部的三角形都不是锐角三角形”,命题的否定为假命题.

（2）命题的否定：“?x,y∈Z

∵当x=0,y=3时,2x+y=3

∴命题的否定是假命题.

评价检测·素养提升

1.（2024山东潍坊高一期末）命题p：?x∈R

A.?x∈R,

C.?x?R,

答案：B

2.（2024黑龙江大庆试验中学高一检测）设命题p:全部正方形都是平行四边形,则?p为()

A.全部正方形都不是平行四边形

B.有的平行四边形不是正方形

C.有的正方形不是平行四边形

D.不是正方形的四边形不是平行四边形

答案：C

3.（2024江苏连云港高一期末）命题“?x∈R

答案：?x∈

解析：存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“?x∈R,x

4.命题“每个函数都有最大值”的否定是.

答案：有些函数没有最大值