上海市嘉定区安亭高级中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题.docx

安亭高级中学2022学年第一学期期中考试高二数学试卷

命题人：蔡雷霆审核人：陈春霞

（本试卷共21题，闭卷，满分150分，考试时间120分钟）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．

1.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有______种不同的取法．

2.已知向量，，则，则______．

3.同时投掷枚质地均匀骰子，所得点数相同的概率是___________

4.若，则______．

5.正整数2022有______个不同的正约数．

6.投掷一颗均匀的骰子，设事件：点数大于等于3；事件：点数为奇数．则______．

7.已知甲同学在玩“电子抽卡游戏”，假设每次抽取1张卡，且每次获得“稀有卡”的概率均为0.6％，那么该同学在50次抽取后，一次也没获得“稀有卡”的概率为______．（结果精确到1％）

8.从正方体的8个顶点中任选2个，则这2个点恰好是同一条棱的两个端点的概率为______．

9.甲乙丙丁戊5名同学排成一列，若甲不站在排头，乙和丙相邻，则不同排列方法有______种．

10.已知正三棱锥满足，，则______．

11.将3个相同的红球和3个相同的蓝球排成一行，从左至右依次对应序号1，2，…，6，若同色球之间不加以区分，则3个红球对应序号之和小于3个蓝球对应序号之和的排列方法有______种．

12.假设你正在参加一个电视节目，舞台上有三扇门，其中一扇门的后面是汽车，另外两扇门的后面是山羊，如果你选中了后面有汽车的那扇门，就可以得到这辆汽车.于是你随机选择了一扇门，走到门前，但还未打开.这时，主持人打开了另外两扇门中的一扇，让你看到了那扇门的后面是一只山羊（主持人当然知道每扇门后面都是什么）.现在，主持人给你一次重新选择的机会.假设你选择换另一扇还未打开的门，那么得到汽车的概率是_________.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13.在长方体中，为中点，，，，则（）

A. B. C. D.

14.盒中装有大小相同的5个小球，其中黑球3个，白球2个，假设每次随机在5个球中取一个，取球后放回摇匀，则下列说法正确的是（）

A.“第三次取到黑球”和“第四次取到黑球”互斥

B.“第三次取到黑球”和“第四次取到白球”独立

C.“前三次都取到黑球”和“前三次都取到白球”对立

D.若连续三次都取到黑球，则第四次取到白球概率会大于

15.在正方体中，为上一动点，则下列各选项正确的是（）

A.存在点使得与平面垂直 B.存在点使得与平面垂直

C.存在点使得与平面垂直 D.存在点使得与平面垂直

16.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）

A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17.已知一条铁路有8个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从车站上车到车站下车为1种车票（）．

（1）该铁路的客运车票有多少种？

（2）为满足客运需要，在该铁路上新增了个车站，客运车票增加了54种，求的值．

18.已知空间直角坐标系中，，，．

（1）若，求的坐标；

（2）求三角形的面积．

19.如图，四面体中，，，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）设，，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的大小．

20.已知共15张卡牌由5张红卡、10张其它颜色卡组成，混合后分3轮发出，每轮随机发出5张卡．

（1）求事件“第1轮无红色卡牌”的概率；

（2）求事件“第1轮有至少3张红色卡牌”的概率；

（3）求事件“每轮均有红色卡牌”的概率．

21.如图，以长方体的顶点为坐标原点，是的中点，是的中点．过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，已知．

（1）分别写出点、点和的坐标；

（2）求到平面的距离；

（3）若点是棱上一个动点，是否存在点使得为一个等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

安亭高级中学2022学年第一学期期中考试高二数学试卷

命题人：蔡雷霆审核人：陈春霞

（本试卷共21题，闭卷，满分150分，考试时间120分钟）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考