平面向量中的最值问题 专题练 2025年高考数学一轮复习备考.docxVIP

平面向量中的最值问题专题练

2025年高考数学一轮复习备考

一、单选题

1．平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（????）

A． B． C． D．

2．点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（????）

A．2 B． C．3 D．

3．如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（????）

A．2 B．4 C． D．

4．已知向量满足，，则的范围是（????）

A． B． C． D．

5．在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足PB?PD=PC

A． B． C． D．

6．已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（????）

A． B． C．2 D．

7．在中，是边的中点，是线段的中点．若，的面积为，则取最小值时，则（???）

A．2 B． C．6 D．4

8．已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（????）

??

A．7 B．12 C．14 D．16

二、多选题

9．已知向量，，为平面向量，，，，，则（???）

A． B．的最大值为

C． D．若，则的最小值为

10．已知点O0,0，，，，则下列结论正确的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若， D．的最大值为

11．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是（）

A．为定值

B．的取值范围是

C．当时，为定值

D．的最大值为16

12．在中，，点是等边（点与在的两侧）边上的一动点，若，则有（????）

A．当时，点必在线段的中点处 B．的最大值是

C．的最小值是 D．的范围是

三、填空题

13．如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是.

14．已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为.

15．在中，，点Q满足，则的最大值为.

16．在中，，，点D为的中点，点E为的中点，若，则的最大值为.

17．已知向量、满足：，.设与的夹角为，则的最大值为.

18．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点P在以的中点O为圆心、为半径的半圆上，若，则下列说法正确的是．

①????②的最大值为

③最大值为9????④

??

四、解答题

19．等边外接圆圆心为，半径为上有点．

(1)若为弧中点，求；

(2)求最大值．

参考答案：

1．B

由，当在直线上时，，

当圆与的切点在延长线上时，圆落在四边形内部部分与直线没有公共点，此时，

当恰好切于点时，则，又，，

所以，则，

所以，则，故.

2．C

分别取，中点Q，R，连接，，

则由题，，即，

所以，

作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ最大，

所以

，

所以的最大值为3.

3．D

，

所以，

所以，即，

解得.

.

4．B

，

由于：，

，

当且仅当时等号成立.

所以，

所以，

所以.

5．D

由PB?PD=PC?

所以AP?

因为，，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）．

设所在圆的圆心为M，连接MB、MC、MD，

则MD⊥BC，，可得，，．

以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，

可得，圆M的方程为，

设，则，结合，

可得，

因为A点在圆M：上运动，

所以，可得当时，，达到最大值．

综上所述，当时，有最大值．

6．B

由，

设，以为原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的坐标系，

由，得点在以为圆心，以1为半径的圆上，

又非零向量与的夹角为，设的起点为原点，则的终点在不含端点的两条射线上，设，

??

则的最小值为

，

表示点到和的距离之和的最小值的倍，

则最小值为，

7．D

在中，由，的面积为，得，则，

由是边的中点，是线段的中点，得，

，

则

，

当且仅当，即时取等号，

在中，由余弦定理得：，

所以.

8．C

??

如图，连接，作，，

易知是的中点，是的中点，由勾股定理得，，

故，

故，当反向时等号成立，故C正确.

9．BCD

对A，设，根据有，

即，为圆心为1,0，半径为的圆，又的几何意义为原点到圆上的距离，则，故A错误；

对B，

，则转化为求圆上的点到12,1的距离最大值，

为，故B正确；

对C，，因为，故，故C正确；

对D，因为，故，

又因为，故，

，

故当时，取最小值取最小值，故D正确.

10．ACD

由题意可知，，