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第一章更新永不过期

集合与常用逻辑用语

1.4充分条件与必要条件

1.4.2充要条件

课前自主预习

课堂互动探究

随堂本课小结

栏目索引

课前自主预习

知识点充要条件

1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有

p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条

件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．

2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那

么p与q互为充要条件.

[微体验]

1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案B

解析|x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，x＝y⇒|x|＝|y|.

2．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的．

解析因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件．

答案充要条件

3．下列各题中，p是q的充要条件的是(填序号)．

(1)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0；(2)p：a＞b，q：a＋c＞b

＋c.

解析在(1)中，q⇒p，qp，所以(1)中p不是q的充要条件，在(2)中，p⇔q，

所以(2)中p是q的充要条件．

答案(2)

课堂互动探究

探究一充要条件的判断

1

2

(1)“m＞”是“一元二次方程x＋x＋m＝0无实数解”的()

4

A．充分不必要条件B．充要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

答案B

1

2

解析方程x＋x＋m＝0无实根⇔Δ＝1－4m＜0⇔m＞.

4

(2)a、b中至少有一个不为零的充要条件是()

A．ab＝0CB．ab＞0D

2222

．a