第08讲 空间向量基本定理7种常见考法归类（教师版）-新高二暑假衔接（人教版）.docx

第08讲空间向量基本定理7种常见考法归类

1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量.

2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.

知识点1空间向量基本定理

1．定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式.

注：（1）对于基底{a，b，c}应明确以下三点：

①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．

②基底中的三个向量a，b，c都不是0.这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．

③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．

（2）空间向量基本定理的推论

设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间内任意一点P都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得eq\o(OP,\s\up7(―→))＝xeq\o(OA,\s\up7(―→))＋yeq\o(OB,\s\up7(―→))＋zeq\o(OC,\s\up7(―→)).

推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置．

2．空间向量的正交分解

(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i，j，k}表示．

(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．

易错辨析：

（1）构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？不可以．

（2）在四棱锥O-ABCD中，eq\o(OA,\s\up7(―→))可表示为eq\o(OA,\s\up7(―→))＝xeq\o(OB,\s\up7(―→))＋yeq\o(OC,\s\up7(―→))＋zeq\o(OD,\s\up7(―→))且唯一，这种说法对吗？对．

知识点2证明平行、共面问题

1.对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.

2.如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

3．直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．

1、判断基底的方法

(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．

(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．

2、用基底表示向量的策略

(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行．

(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．

3、证明平行、共面问题的思路

(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可．

(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．

考点一：空间向量基本定理基底的判断

例1．【多选】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（????）

A．，，两两不共线，但两两共面

B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得

C．，，能构成空间另一个基底

D．若，则实数，，全为零

【答案】ABD

【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可.

【详解】因为构成空间的一个基底，所以，，两两不共线，但两两共面，故A正确；

对空间任一向量，总存在有序实数组，使得，故B正确；

因为，所以，，共面，故不能构成空间的一个基底，故C错误；

根据空间向量基本定理可知，若，则实数，，全为零，故D正确；

故选：ABD

变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用基底的性质进行求解.

【详解】因为，所以是共面