工科数学分析 下册（第2版）课件：第二类曲线积分.pptx

第二类曲线积分工科数学分析

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）问题的提出对坐标的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的计算小结

一、问题的提出实例:变力沿曲线所作的功常力沿直线所作的功分割

求和取极限近似值精确值

二、对坐标的曲线积分的概念1.定义

类似地定义

2.存在条件：3.组合形式（独立积分的组合：第二类曲线积分的坐标形式）向量值函数曲线积分向量形式

向量形式的积分元素坐标形式的积分元素

4.推广5.性质

即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.注意：由于第二类曲线积分涉及到方向性，故积分的对称性也和第一类曲线积分不同。

Lyxo

ABMN

三、对坐标的曲线积分的计算定理

特殊情形

(4)两类曲线积分之间的联系：第一类曲线积分是数量函数对弧长的积分，且与积分路径的方向无关；第二类曲线积分是向量函数的各分量对坐标的独立积分之和，且与路径的方向有关。且被积函数与积分变量都是向量。

联系：

其中切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.

或者由对弧长的曲线积分的计算公式

.物理解释:两种不同的方式计算【变力沿曲线做功】的问题1.(第二类曲线积分)将力F分解为水平方向的分力P和竖直方向的分力Q.合力F所做的总功，等于P所做的功和Q所做的功的和.2.(第一类曲线积分)将P和Q分别投影到物体运动方向，如图所示.

P在切线方向的投影力的大小为Pcosα，Q在切线方向的投影力的大小为Qcosβ.（可以推广到空间曲线上）

可用向量表示有向曲线元；

例1解

例2解

注意：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.

例3解

注意：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.

四、小结1．对坐标曲线积分的概念2．对坐标曲线积分的计算3．两类曲线积分之间的联系

作业P175-176

1(1)(2)

2(2)(4)；

3；

6；

7