2024_2025学年新教材高中数学第4章概率与统计章末综合提升学案含解析新人教B版选择性必修第二册.docVIP

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第4章概率与统计

类型1条件概率、乘法公式及全概率公式

阐述：中学教材引进条件概率的概念是为了定义事务的相互独立性，高考试题中很少出现单独考查条件概率的试题．事务的相互独立性是进一步探讨独立重复试验和二项分布的基础．而乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式是新增加的内容，在今后的高考中会有所体现．主要考查逻辑推理素养及数学运算素养．

【例1】设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%,各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%,现从中任取一件．

(1)求取到的是次品的概率；

(2)经检验发觉取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率．

[解]记事务A1：“该产品是甲厂生产的”，事务A2:“该产品为乙厂生产的”，事务A3：“该产品为丙厂生产的”，事务B：“该产品是次品”．由题设，知

P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%．

(1)由全概率公式得P(B)＝eq\o(∑,\s\up7(3),\s\do7(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)＝3.5%．

(2)由贝叶斯公式得P(A1|B)＝eq\f(P?A1?P?B|A1?,P?B?)＝eq\f(18,35)．

无论条件概率公式P?A|B?＝，乘法公式P?AB?＝P?B?P?A|B?，还是贝叶斯公式P?A|B?＝＝都反映了P?A?，P?B|A?，P?AB?三者之间的转化关系，敏捷应用即可.

eq\o([跟进训练])

1．某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别有2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参与竞赛，则在竞赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参与竞赛，则该小组在竞赛中射中目标的概率为________．

0.5275[设B＝{该小组在竞赛中射中目标}，

Ai＝{选i级射手参与竞赛}，(i＝1,2,3,4)．

由全概率公式，有P(B)＝eq\o(∑,\s\up7(4),\s\do7(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)

＝eq\f(2,20)×0.85＋eq\f(6,20)×0.64＋eq\f(9,20)×0.45＋eq\f(3,20)×0.32＝0.5275．]

类型2独立重复试验与二项分布

阐述：独立重复试验、二项分布是一种常见的、应用广泛的概率模型，是高考重点考查的内容之一，要求有较高的逻辑推理、阅读理解实力、重在培育数学建模和数学运算的核心素养．

【例2】实力相等的甲、乙两队参与乒乓球团体竞赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止竞赛)．

(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；

(2)按竞赛规则求甲获胜的概率．

[解](1)甲、乙两队实力相等，所以每局竞赛甲获胜的概率为eq\f(1,2)，乙获胜的概率为eq\f(1,2)．

记事务A＝“甲打完3局才能取胜”，记事务B＝“甲打完4局才能取胜”，记事务C＝“甲打完5局才能取胜”．

①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局竞赛甲均取胜，

∴甲打完3局取胜的概率为P(A)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,8)．

②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局竞赛取胜，前3局为2胜1负，

∴甲打完4局才能取胜的概率为

P(B)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,16)．

③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局竞赛取胜，前4局恰好2胜2负，

∴甲打完5局才能取胜的概率为

P(C)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,16)．

(2)事务D＝“按竞赛规则甲获胜”，则D＝A＋B＋C，

又∵事务A，B，C彼此互斥，

故P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)

＝eq\f(1,8)＋eq\f(3,16)＋eq\f(3,16)＝eq\f(1,2)，

∴按竞赛规则甲获胜的概率为eq\f(1,2)．

1．在求n次独立重复试验中事务恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再精确利用公式求概率．

2．依据独立重