2025年一次函数核心要点与解题策略全解析.doc

一次函数知识点

一、函数与变量

常量与变量的概念：

我們在現实生活中所碰到的某些实际问題，存在某些数量关系，其中有的量永远不变，同步也出現了某些数值会发生变化的两个量，且这两个量之间互相依赖、亲密有关．

在某一变化过程中，可以取不一样数值的量，叫做变量．

在某一变化过程中，有两个量，例如和，对于的每一种值，均有惟一的值与之对应，其中是自变量，是因变量，此時也称是的函数．

在某些变化过程中，尚有一种量，它的取值一直保持不变，我們称之為常量．例如：圆的面积与圆的半径存在对应的关系：，这里表达圆周率；它的数值不会变化，是常量，伴随的变化而变化，是自变量，是因变量；

“有唯一值与对应”是指在自变量的取值范围内，每取一种确定值，都唯一的值与之相对应，否则不是的函数．

判断两个变量与否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．取不一样的值，的取值可以相似．例如:函数中，時，；時，．

函数不是数，它是指在一种变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．

数学上表达函数关系的措施一般有三种：

⑴解析法：用数学式子表达函数的措施叫做解析法．譬如：，．

⑵列表法：通过列表表达函数的措施．

⑶图象法：用图象直观、形象地表达一种函数的措施．

有关函数的关系式(既解析式)的理解：

函数关系式是等式．例如就是一种函数关系式．

函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．

一般等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一种字母表达函数．

例如：是自变量，是的函数．

函数关系式在书写時有次序性．

例如：是表达是的函数，若写成就表达是的函数．

求与的函数关系時，必须是只用变量的代数式表达，得到的等式右边只含的代数式．

自变量的取值范围：

诸多函数中，自变量由于受到诸多条件的限制，有自已的取值范围，例如中，自变量受到开平方运算的限制，有既；

当汽车行进的速度為每小時公里時，它行进的旅程与時间的关系式為；这里的实际意义影响的取值范围应当為非负数，既．

在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几种方面：

⑴根式：当根指数為偶数時，被开方数為非负数．

⑵分母中具有自变量：分母不為．

⑶实际问題：符合实际意义．

函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点构成的．

描点法画函数图象的环节：⑴列表；⑵描点；⑶连线．

函数解析式与函数图象的关系：

⑴满足函数解析式的有序实数对為坐标的点一定在函数图象上；

⑵函数图象上点的坐标满足函数解析式．

二、一次函数及其性质

知识点一一次函数的定义

一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当時，既，这時既是前一节所学过的正比例函数．

⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一种函数与否是一次函数，就是判断与否能化成以上形式．

⑵当，時，仍是一次函数．

⑶当，時，它不是一次函数．

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

知识点二一次函数的图象及其画法

⑴一次函数（，，為常数）的图象是一条直线．

⑵由于两点确定一条直线，因此在平面直角坐标系内画一次函数的图象時，只要先描出两个点，再连成直线既可．

①假如这个函数是正比例函数，一般取，两点；

②假如这个函数是一般的一次函数（），一般取，，既直线与两坐标轴的交点．

⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是說，直线与是一一对应的，因此一般把一次函数的图象叫做直线：，有時直接称為直线．

知识点三一次函数的性质

⑴当時，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；

⑵当時，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．

知识点四一次函数的图象、性质与、的符号

⑴

一次

函数

，

符号

图象

性质

随的增大而增大

随的增大而减小

⑵一次函数中，当時，其图象一定通过一、三象限；当時，其图象一定通过二、四象限．

当時，图象与轴交点在轴上方，因此其图象一定通过一、二象限；当時，图象与轴交点在轴下方，因此其图象一定通过三、四象限．

反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．

知识点五用待定系数法求一次函数的解析式

⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而详细写出这个式子的措施，叫做待字系数法．

⑵用待定系数法求函数解析式的一般环节：

①根据已知条件写出具有待定系数的解析式；

②将的几对值，或图象上的几种点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数為未知数的方程或方程组；

③解方程（组），得到待定系数的值；

④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．

1.一次函数与一元一次方程的关系：

直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。求直线与x轴交点時，可令，得到方程，